Funzione di Cauchy misurabile

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Simo_the_wolf
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Funzione di Cauchy misurabile

Messaggio da Simo_the_wolf » 01 ott 2012, 15:12

Forse ben consciuto, ma mi ci sono imbattuto da poco, ed è carino... Dimostrare che se $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ è una funzione misurabile tale che $ f(x+y) = f(x) + f(y) $, allora $ f(x)=xf(1) $ per ogni $ x $ reale.

Gulliver
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Re: Funzione di Cauchy misurabile

Messaggio da Gulliver » 13 ott 2013, 02:08

Considera il morfismo misurabile $g(x)=exp(2\pi if(x))$. Ora considera $g_1(x)=\alpha(x)g(x)$, dove $\alpha \in L^1$ per cui $ \int_{\mathbb{R}}\alpha=1$ . Ora abbiamo che $g_1 \in L^1,g \in L^{\infty}$, si trova facilmente che questo implica che $g*g_1 $ è uniformemente continua. Ma d'altronde $g*g_1(y)=\int_{\mathbb{R}}\alpha(x)g(x)g(y-x)dx=g(y)\int_{\mathbb{R}}\alpha(x)dx=g(y)$(abbiamo usato la moltiplicatività nel penultimo passaggio). Pertanto abbiamo che g è continua. Ne deduciamo la continuità di f così: chiaramente dobbiamo solo verificare la continuità in 0(questo vale per qualsiasi omomorfismo di gruppi topologici, per lo stesso evidente motivo). Sappiamo che è continua in 0 modulo gli interi grazie alla continuità di g. Supponiamo che non sia continua in 0. Prendiamo $x_n \to 0, f(x_n) \not \to 0$, assumiamo wlog(scegliendo uno tra positivi e negativi l'argomento è uguale), esista $\epsilon>0$ per cui $f(x_n)>\epsilon, \forall n \in \mathbb{N}$, ora prendendo un opportuno razionale $q_n$(molto vicino a, per dire, $\frac{1}{2f(x_n)}$) possiamo fare in modo che $f(q_nx_n)$ viva in un piccolo intorno di, per dire, 1/2, mentre $q_nx_n \to 0$(questo proprio perchè $f(x_n)>\epsilon$), il che contraddice la continuità modulo gli interi, ossia la continuità di g.
p.s: praticamente si tratta di aggiustare quello che uno avrebbe se avesse $\phi:G \to S^1$ dove G è compatto, allora in quel caso si può direttamente dire $\phi*\phi=\phi$(che trasformata dà una relazione di idempotenza che denuncia la sconnessione del gruppo duale, che difatti è proprio discreto in tal caso).

Tu lo vedevi in modo diverso?

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