n!<=n^n .. prove it!

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AlanG
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n!<=n^n .. prove it!

Messaggio da AlanG » 05 set 2012, 20:38

Salve a tutti, sono nuovo di questo forum e vi propongo un simpatico teoremino da dimostrare. E' semplice, ma notevole sotto il punto di vista di quanti approcci diversi possa avere.

Th Sia $ n \in N $
Se $n >=1 $ allora $ n!<=n^n $

Buon divertimento!

ant.py
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Re: n!<=n^n .. prove it!

Messaggio da ant.py » 05 set 2012, 21:49

In $ n! $ moltiplichi $ n $ numeri $ \le n $, in $ n^n $ moltiplichi $ n $ numeri $ = n $; da cui $ n! \le n^n $
Ultima modifica di ant.py il 09 nov 2012, 19:05, modificato 1 volta in totale.
Anti-intellectualism has been a constant thread winding its way through our political and cultural life. Nurtured by the false notion that democracy means that "My ignorance is just as good as your knowledge. "

AlanG
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Re: n!<=n^n .. prove it!

Messaggio da AlanG » 06 set 2012, 15:41

anty.py avrei preferito qualche altro tipo di approccio :wink: ma va beh

Posto la mia,

Voglio provare che $\forall n>=1,n\in N : n!<=n^n$
Ovviamente il teorema si mostrerebbe falso per $n=0$ . Avrei un'espressione del genere $0!=1<=0^0$ la quale non ha senso.
Per $n=1$ la tesi è banalmente vera. (1)
Sia ora $n>1$ e consideriamo l'insieme $X=${$1,2,...,n$}
Inoltre consideriamo $K$ l'insieme delle funzioni da $X$ in $X$.
Banalmente, la cardinalità di $K$ risulta essere $n^n$.
Consideriamo ora $B$, il sottoinsieme di $K$ formato dalle applicazioni bigettive di $X$ in se.
$B$ è allora l'insieme di permutazioni su $n$ elementi. Inoltre $B$ è diverso da $K$ se $n$ è diverso da $1$.
Ma allora $B=S_n$ ne segue allora che la cardinalità di $B$ è $n!$. (2)
essendo $B$ un sottoinsieme di $K$ , ne segue che la cardinalità di $B$ è minore oppure uguale (da 1 e 2) a quella di K.
Pertanto $n!<=n^n$ se $n>=1$

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Drago96
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Re: n!<=n^n .. prove it!

Messaggio da Drago96 » 06 set 2012, 16:26

Si può anche fare con l'induzione:
supponendo che la tesi valga per $n$, si ha
$(n+1)^{n+1}=(n+1)(n+1)^n\ge(n+1)n^n\ge(n+1)n!=(n+1)!$
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AlanG
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Re: n!<=n^n .. prove it!

Messaggio da AlanG » 06 set 2012, 18:46

Drago96 ha scritto:Si può anche fare con l'induzione:
supponendo che la tesi valga per $n$, si ha
$(n+1)^{n+1}=(n+1)(n+1)^n\ge(n+1)n^n\ge(n+1)n!=(n+1)!$
bravo!

amatrix92
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Rilancio

Messaggio da amatrix92 » 06 set 2012, 19:16

Comunque la dimostrazione di ant.py per una cosa così semplice mi pare sia la più intuitiva e che vada benissimo.

Giacchè siamo in MNE propongo un rilancio per rendere il tutto più interessante:

Dimostrare (StirlingLESS!! ) che

$ n! e^n > n^n >(n-1)!e^n $

Edit: apparte la definizione di $ e $ e le sue propietà le dimostrazioni del rilancio sono totalemnte elementari!
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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