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Qualcuno mi può dare qualche aiutino con questo esercizio?
"Costruire una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali dell'intervallo ]0,1[, espressi in forma decimale, e le coppie di numeri reali, quindi i punti del piano, che appartengono al quadrato ]0,1[x]0,1[."

Non ho capito bene.. E se ad ogni x associ la coppia (x, x)?

ma così la corrispondenza non è biunivoca

Perche ? Sbaglio o non è sia iniettiva che suriettiva?

almeno che non abbia capito male non mi sembra suriettiva: non a tutti gli elementi del "quadrato di piano" assegni un elemento dell'intervallo; alla coppia (0.1, 0.2) non corrisponde nessun punto dell'intervallo ]0,1[

EDG93 ha scritto:almeno che non abbia capito male non mi sembra suriettiva: non a tutti gli elementi del "quadrato di piano" assegni un elemento dell'intervallo; alla coppia (0.1, 0.2) non corrisponde nessun punto dell'intervallo ]0,1[

Colpa mia, hai ragione tu.. Mi ero confuso

Hai due mazzi di carte, devi farne uno ... shuffle!

EvaristeG ha scritto:Hai due mazzi di carte, devi farne uno ... shuffle!

Con attenzione però!

cioè? io avevo pensato di assegnare a ogni numero dell'intervallo la coppia (x,y) dove x sono le cifre di posto dispari del numero e y quelle di posto pari; ma non funziona in tutti i casi come ad esempio per il numero 0,0101010101... che darebbe vita alla coppia (0, 0.11111...) ma lo zero non lo posso utilizzare...

Do un suggerimento ... ovviamente il difficile è capire perché funziona ... Dato un numero reale $0.x_1x_2x_3\ldots$, scriviamolo di modo che, se proprio deve, termini con infiniti $0$ e non con infiniti $9$. Ora raggruppiamo le cifre in singoletti, a parte che per i $9$: se ho un po' di $9$ uno dopo l'altro, questi si raggruppano tutti con la prima cifra diversa da $9$ che li segue ... ad esempio
$0.236798456998206792$
diventa
$2\ 3\ 6\ 7\ 98\ 45\ 6\ 998\ 2\ 0\ 6\ 7\ 92$
ed ora prendiamo questi gruppi alternatamente, formando due numeri
$0.269862692$ e $0.374599807$
Questa è una mappa da $(0,1)$ in $(0,1)\times(0,1)$ ... funziona?

Provo a rispondere io, visto che il topic è inattivo da un po' e la cosa mi interessa. Chiamando $ f $ la funzione da $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\times\mathbb{N} $ operare coi gruppi finiti di nove consecutivi come suggerito da EvaristeG toglie $ 1=0.\bar{9} $ dai rispettivi codomini, sugli irrazionali e sui decimali periodici funziona, perché $ f $ è sicuramente iniettiva (si verifica banalmente) e di conseguenza $ f^{-1} $ è suriettiva. Si dimostra per assurdo che $ f^{-1} $ è iniettiva e che $ f $ è suriettiva, quindi funziona. Quanto al perché funzioni, intuitivamente direi che i gruppi con $ n $ nove consecutivi "camminano" sempre in un unico pacchetto, quindi non c'è pericolo che in qualche passaggio diano luogo a risultati diversi, ma non saprei spiegarlo meglio.

Il problema sorge sui decimali finiti. Assumendo $ f^{-1}((0.1),(0.1))=(0.1) $ e viceversa si riesce a coprire anche le coppie di decimali finiti. Mentre per le coppie irrazionale-decimale o periodico-non periodico basta considerare il numero decimale seguito da infiniti zeri.

Il problema trovato da EDG93 ($ 0,\overline{10} $ oppure $ 0,\overline{01} $) è solo apparente in quanto $ 0,\overline{01}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{10^{2n}}=\frac{100}{99}=1,01 $, che non appartiene al dominio, mentre $ 0,\overline{10}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{10^{2n+1}}=\frac{10}{99}=0,1 $ che è una rappresentazione alternativa. I casi con gruppi di zeri alterni si riconducono tutti a forme alternative, per la convergenza della serie armonica quadrata.

Ho sbagliato o dimenticato qualcosa, o è giusto?

EDIT: corretta una formula

Posso contare che sia giusto?

Epimenide ha scritto:Il problema trovato da EDG93 ($ 0,\overline{10} $ oppure $ 0,\overline{01} $) è solo apparente in quanto $ 0,\overline{01}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{10^{2n}}=\frac{100}{99}=1,01 $, che non appartiene al dominio, mentre $ 0,\overline{10}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{10^{2n+1}}=\frac{10}{99}=0,1 $ che è una rappresentazione alternativa. I casi con gruppi di zeri alterni si riconducono tutti a forme alternative, per la convergenza della serie armonica quadrata.

Questo che vuol dire? E poi le varie uguaglianze contengono errori a meno che non capisca la tua notazione.