Disuguaglianza con esponenziali di matrici

[<enigma>]

Se $A$ e $B$ sono matrici con $\mathbb 0 \leq A \leq B$ (ovvero $A$ e $B-A$ sono matrici positive) è vero che $e^A \leq e^B$?

hint:

Testo nascosto:

se $A$ è una proiezione $2 \times 2$ di rango $1$, allora $e^A=(e-1)A+1$...

[<enigma>]

Un'idea un po' intuitiva: usando l'hint, prendiamo $A$ una proiezione facile, diciamo $\begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix}$, e cerchiamo $B$ della forma $\begin{bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \end{bmatrix}$; $B-A \geq 0 \iff x-\frac 1 2 >0, y-\frac 1 2 >0, 2xy \geq x+y$. Considerando i termini in alto a sinistra degli esponenziali, dobbiamo trovare $x$ e $y$ che soddisfino tali disuguaglianze e anche tali che $e^x <\frac {e+1} 2$ per quanto detto nell'hint... a voi aggiungere i dettagli e concludere trovando $B$