Analisi all'ammissione per la SNS

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
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Robertopphneimer
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Analisi all'ammissione per la SNS

Messaggio da Robertopphneimer » 15 lug 2012, 16:55

EDIT: ho spostato il thread in una sezione più appropriata (non in Algebra, dato che si parla di analisi, in un modo o nell'altro). ma_go

Salve ragazzi!! Quest'anno proverò la sns ma vorrei qualche dritta perché mi sento smarrito su molte cose (come le successioni) e ricordarsi tutta la geometria di questo mondo.
Per geometria fino ad ora per i test ho notato che la cosa più importante è creare modelli con proporzioni ed avanzare ipotesi(usando talete soprattutto e vedere angoli che incidono sullo stesso arco).
Invece per roba più analitica vorrei sapere se è giusto un metodo che sto sviluppando (soprattutto per le disuguaglianze,cioè determinare una data equazione o espressione come una funzione e studiarla,faccio due esempi molto banali.
Dimostrare che, presi due numeri reali a e b, si ha sempre:
a^4+b^4>(uguale) a^3*b :
Dire quando si ha l’uguaglianza.

io ho portato tutti gli elementi al primo membro e l'ho fatta diventare una funzione e studiandola ho ottenuto la mia tesi.
f(x) = a^4+b^4-a^3*b > 0

2a esempio:
Trovare quali sono i valori di x per i quali rad x^2-1 è maggiore di x
anche qui ho usato le funzioni.
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petroliopg
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Re: Analisi all'ammissione per la SNS

Messaggio da petroliopg » 16 lug 2012, 02:37

Allora inizio dicendo che pure io provo la normale quest'anno, per chimica, e pure io mi sto preparando all'esame.
Dunque ho capito cosa vorresti fare, ma non ho capito come lo vorresti fare (so una capra lo so). Specie quando usi la notazione $\displaystyle f(x) $ parlando di $\displaystyle a,b$

comunque io questo problema lo risolverei così, old style forse.
$\displaystyle |a|\ge |b|$
dunque: $\displaystyle a^4+b^4\ge a^4$
$\displaystyle a^4=a^3 \cdot a\ge a^3 \cdot b$ (riarrangiamento)
l'alternativa è chiaramente $\displaystyle |a|\le |b|$
dunque: $\displaystyle a^4+b^4\ge b^4=b\cdot b^3\ge b\cdot a^3$ (sempre per riarrangiamento)
dunque cvd. L'uguaglianza vale con $\displaystyle a=b=0$ (solo? chiedo ai più esperti se ho sbagliato/scordato qualcosa... :roll: )

in alternativa ci sono i modi più brutali che si basano sul raccogliere e semplificare fino a qualcosa di accettabile o discutere di volta in volta et similia.
Brutalmente dovrebbe comunque tornare, se completi qualche quadrato o quarta potenza. A quest'ora non ho voglia di accendere la luce, quindi posso solo buttare parole al vento

Il due anche voglio capire come applichi l'analisi (sia chiaro, non è né una critica, né altro, pura curiosità visto che sono cose che mi riguardano)
La soluzione alternativa e credo ordinaria previo errori la posto comunque qua.
$\displaystyle x<-1 \vee x>1$ intanto.
Dunque con $\displaystyle x>1$ elevi al quadrato, semplifichi $\displaystyle x^2 $ e viene una cosa mai vera.
Con $\displaystyle x<-1$ allora è banalmente dimostrata poiché $\displaystyle \sqrt{x-1} > x$ positivo>negativo. Quindi le soluzioni sono $\displaystyle x<-1$
Dimmi se ho fatto qualche svista
ciao.
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Mist
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Re: Analisi all'ammissione per la SNS

Messaggio da Mist » 16 lug 2012, 18:24

petroliopg ha scritto:Quindi le soluzioni sono $\displaystyle x<-1$
Ti sei dimenticato le condizioni di esistenza...
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1Cor 13:2

"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

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petroliopg
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Re: Analisi all'ammissione per la SNS

Messaggio da petroliopg » 16 lug 2012, 19:36

sì, mi sono scordato di considerare $\displaystyle x=1 \vee x=-1$
o meglio quando ho analizzato l'argomento della radice $\displaystyle x^2-1\ge 0 $ non ho considerato che è una disuguaglianza debole... svista da evitare spero all'esame :O
Quindi le CE sono $\displaystyle x\le -1 \vee x\ge 1$
Svista è anche l'ultima disequazione che avrebbe dovuto essere $\displaystyle \sqrt {x^2-1} > x$
La soluzione finale dunque tiene conto che anche con $\displaystyle x=-1$ vale. Dunque $\displaystyle x\le -1$ soluzione.
Grazie per le correzioni :)
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Spammowarrior
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Re: Analisi all'ammissione per la SNS

Messaggio da Spammowarrior » 17 lug 2012, 16:11

petroliopg ha scritto: $\displaystyle a^4=a^3 \cdot a\ge a^3 \cdot b$ (riarrangiamento)
what?

Robertopphneimer
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Re: Analisi all'ammissione per la SNS

Messaggio da Robertopphneimer » 17 lug 2012, 20:01

petroliopg ha scritto:Allora inizio dicendo che pure io provo la normale quest'anno, per chimica, e pure io mi sto preparando all'esame.
Dunque ho capito cosa vorresti fare, ma non ho capito come lo vorresti fare (so una capra lo so). Specie quando usi la notazione $\displaystyle f(x) $ parlando di $\displaystyle a,b$
Semplice se scrivi:

f(x) = a^4+b^4-a^3b>O

studiando la funzione (contando che ne so x=a) ed anche tracciando il grafico si trova tutto e si dimostra.
in quanto a rad x-1 > x abbiamo il dominio x >1 e quindi per logica è sempre sbagliata (queste sono abbastanza semplici.
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petroliopg
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Re: Analisi all'ammissione per la SNS

Messaggio da petroliopg » 17 lug 2012, 20:08

Disequazione di riarrangiamento.
Siano $\displaystyle (a_1,...,a_n)$ e $\displaystyle (b_1,...,b_n)$ due ennuple tali che
$\displaystyle a_1\ge a_2\ge . . .\ge a_n $
$\displaystyle b_1\ge b_2\ge . . .\ge b_n $
Considerando $\displaystyle \sigma : (1,...,n) \longrightarrow (1,...,n) $ una qualunque permutazione consideriamo:
$\displaystyle \sum_{i=1}^n a_ib_{\sigma(i)}$
Allora $\displaystyle \sum_{i=1}^n a_ib_{n+1-i}\le \sum_{i=1}^n a_ib_{\sigma(i)}\le \sum_{i=1}^n a_ib_{i}$

In soldoni moltiplicare il numero più grande per il più grande, il secondo più grande per il secondo più grande e così via, massimizza la somma; moltiplicare il primo per l'ultimo, il secondo per il penultimo etc la minimizza. Oppure detto in altri termini il prodotto tra uno stesso numero ed uno maggiore è maggiore del prodotto di quello stesso numero ed uno minore. Non so se debbo pure spiegarti cosa ho fatto nel dettaglio o cosa... scusa l'italiano.

POST SCRIPTUM (in relazione al penultimo post xD
la funzione era $\displaystyle \sqrt{x^2-1} \ge x $, almeno a quanto hai scritto tu... il dominio non è $\displaystyle x>1$ (se la matematica non è un'opinione o se io non sono un pirla. De gustibus.

Nel particolare ti chiedevo dove era la x? cioè hai considerato $\displaystyle f(a)=a^4+b^4-a^3b$? Ma così non ti scordi un termine che non è costante, cioè un'altra variabile? Nel senso non dovresti procedere allo studio di una funzione $\displaystyle f(a,b)=a^4+b^4-a^3b$? Ti chiedo di illustrarmi lo studio se puoi, di modo che capisca da capra che sono. Chiedo per curiosità, io le equazioni differenziali le ho trattate poco...
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Montale

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Re: Analisi all'ammissione per la SNS

Messaggio da Robertopphneimer » 17 lug 2012, 20:54

Allora io non l'ho trattata come un'equazione differenziale...inoltre sotto la radice non ci può essere un numero negativo,perciò x/x-1> 0 e viene sopra x>0 e sotto x> 1 metti a confronto e si fa x>1 e basta....
in quanto ad a b etc non l'ho trattata come un'equazione differenziale ma ho scelto solo un'incognita...delle due...non neanch'io ho ancora dimestichezza con le equazioni differenziali...a quanto ho capito siamo sulla stessa barca!!
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Re: Analisi all'ammissione per la SNS

Messaggio da Robertopphneimer » 17 lug 2012, 20:56

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Re: Analisi all'ammissione per la SNS

Messaggio da Spammowarrior » 17 lug 2012, 21:51

petroliopg ha scritto:Disequazione di riarrangiamento.
Siano $\displaystyle (a_1,...,a_n)$ e $\displaystyle (b_1,...,b_n)$ due ennuple tali che
$\displaystyle a_1\ge a_2\ge . . .\ge a_n $
$\displaystyle b_1\ge b_2\ge . . .\ge b_n $
Considerando $\displaystyle \sigma : (1,...,n) \longrightarrow (1,...,n) $ una qualunque permutazione consideriamo:
$\displaystyle \sum_{i=1}^n a_ib_{\sigma(i)}$
Allora $\displaystyle \sum_{i=1}^n a_ib_{n+1-i}\le \sum_{i=1}^n a_ib_{\sigma(i)}\le \sum_{i=1}^n a_ib_{i}$

In soldoni moltiplicare il numero più grande per il più grande, il secondo più grande per il secondo più grande e così via, massimizza la somma; moltiplicare il primo per l'ultimo, il secondo per il penultimo etc la minimizza. Oppure detto in altri termini il prodotto tra uno stesso numero ed uno maggiore è maggiore del prodotto di quello stesso numero ed uno minore. Non so se debbo pure spiegarti cosa ho fatto nel dettaglio o cosa... scusa l'italiano.

ok ok, cos'è la disuguaglianza di riarrangiamento lo so (o per meglio dire, l'ho cercato su google), ma non ti sembra tipo un filino eccessivo per dimostrare una disuguaglianza banale?
fossi in un correttore un po' mi altererei.
in particolare:
Oppure detto in altri termini il prodotto tra uno stesso numero ed uno maggiore è maggiore del prodotto di quello stesso numero ed uno minore.
seriously? serve quella disuguaglianza per dimostrare questo? perchè io quella disuguaglianza non la sapevo ma questo fatto mi appare abbastanza facile. tipo semplificare non funziona?

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Re: Analisi all'ammissione per la SNS

Messaggio da petroliopg » 17 lug 2012, 22:14

oh! giusto lol
è che ho il cervello fuso. ora che ci penso avevo avuto un dubbio quando avevo posto in modulo (e mi sono mangiato anche un paio di passaggi in ciò). dubbio che sia chiaro permane: avrei dovuto studiare il segno di a prima di semplificare? tipo poniamo $\ a<b$ ma che $\ |a|\ge |b|$. Se semplificavo direttamente $\ a^3$ sarebbe rimasto a<b no? è per questo dubbio che ho preferito non semplificare. mi sono però scordato di fare valutazioni di moduli, ossia $\ |a^3|\cdot|a|\ge \ |a^3|\cdot|b|\ge |a^3b|\ge a^3b$.
Citandomi poi non sapevo come sintetizzare in poco ciò che avevo scritto (prodotto di stesso numero per numeri differenti è differente etc), quindi ho detto riarrangiamento, quasi come un principio a dire il vero, ma vedo erratamente.
boh, inutile, deliro ora come ora. grazie comunque, terrò a mente di rileggere bene ciò che scrivo. scusa i dubbi, ma devi capire che io la matematica ho iniziato a studiarla da un mesetto scarso, ed ho molte lacune credo :(
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Re: Analisi all'ammissione per la SNS

Messaggio da Robertopphneimer » 18 lug 2012, 14:11

Anch'io...diciamo che non l'ho mai studiata,ce l'avevo sotto la pelle praticamente,solamente che ora è una matematica diversa, più affascnante ma più impegnativa.
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Re: Analisi all'ammissione per la SNS

Messaggio da Robertopphneimer » 18 lug 2012, 14:22

petroliopg ha scritto:Disequazione di riarrangiamento.
Siano $\displaystyle (a_1,...,a_n)$ e $\displaystyle (b_1,...,b_n)$ due ennuple tali che
$\displaystyle a_1\ge a_2\ge . . .\ge a_n $
$\displaystyle b_1\ge b_2\ge . . .\ge b_n $
Considerando $\displaystyle \sigma : (1,...,n) \longrightarrow (1,...,n) $ una qualunque permutazione consideriamo:
$\displaystyle \sum_{i=1}^n a_ib_{\sigma(i)}$
Allora $\displaystyle \sum_{i=1}^n a_ib_{n+1-i}\le \sum_{i=1}^n a_ib_{\sigma(i)}\le \sum_{i=1}^n a_ib_{i}$

In soldoni moltiplicare il numero più grande per il più grande, il secondo più grande per il secondo più grande e così via, massimizza la somma; moltiplicare il primo per l'ultimo, il secondo per il penultimo etc la minimizza. Oppure detto in altri termini il prodotto tra uno stesso numero ed uno maggiore è maggiore del prodotto di quello stesso numero ed uno minore. Non so se debbo pure spiegarti cosa ho fatto nel dettaglio o cosa... scusa l'italiano.
non so neanche come hai costruito un modello del genere...sono successioni?? cosa vuoi dimostrare con ciò??
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