curva chiusa e triangolo

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Mike
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curva chiusa e triangolo

Messaggio da Mike » 26 giu 2012, 23:10

E' vero che data una qualsiasi curva chiusa, è possibile trovare tre punti su di essa che siano i vertici di un triangolo equilatero?

EvaristeG
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Re: curva chiusa e triangolo

Messaggio da EvaristeG » 29 giu 2012, 12:06

So che è una domanda tremenda, ma curva chiusa in che senso?? :)
Non sapendo quanto ne sappia tu di matematica "universitaria", te lo chiedo così: una linea senza spigoli nel piano, che, opportunamente "stesa" e ritoccata possa diventare una circonferenza e tale che magari esista un certo raggio $r$ per cui se prendi un pezzettino della curva e guardi a distanza $r$ da lui "perpendicolarmente" non trovi altri pezzi di curva?
Una cosa così?

Mike
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Re: curva chiusa e triangolo

Messaggio da Mike » 29 giu 2012, 15:02

Diciamo di sì... cambia qualcosa se ha spigoli (o se figura chiusa è se io prendo una penna, faccio uno scarabocchio che non s'intrecci e torno al punto di partenza)?
A me pare che un triangolo equilatero si trovi sempre. Anzi, direi un qualsiasi triangolo simile a uno dato...

Kopernik
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Re: curva chiusa e triangolo

Messaggio da Kopernik » 29 giu 2012, 18:32

Nel 2010 è stato proposto un sottocaso come quesito di ammissione alla Scuola Superiore dell'Università di Udine. La richiesta era: data un'ellisse e scelto un suo punto, è possibile inscrivere nell'ellisse un triangolo equilatero che abbia un vertice nel punto scelto?
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]

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Re: curva chiusa e triangolo

Messaggio da EvaristeG » 30 giu 2012, 11:07

Se tu fai uno scarabocchio con la penna e torni al punto di partenza ottieni più o meno la cosa che ho descritto io, a parte il fatto che può avere spigoli.
Comunque quello che chiedi è vero per ogni classe di similitudine di triangoli e per ogni curva semplice chiusa, ma ovviamente più generale si vuol rendere l'enunciato e più difficile è la dimostrazione. Btw, quanta matematica sai? :D cioè, a che punto dei tuoi studi sei?

Mike
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Re: curva chiusa e triangolo

Messaggio da Mike » 30 giu 2012, 11:17

Conosco la matematica del liceo scientifico (tutta); nulla di quella universitaria...

EvaristeG
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Re: curva chiusa e triangolo

Messaggio da EvaristeG » 02 lug 2012, 10:16

Ok ... sarò vaghissimo XD Diciamo che i dettagli di ogni mia affermazione sono un esercizio per qualche universitario di passaggio.

Prendiamo una curva semplice chiusa Z (ovvero uno scarabocchio che non si interseca e torna al punto di partenza). Consideriamo una circonferenza $\Gamma$ all'interno di Z e muoviamo $\Gamma$ finché non tocca Z; chiama A uno dei punti di questo primo contatto. A questo punto $\Gamma$ sarà sempre all'interno di Z, ma la toccherà in qualche punto, uno dei quali è A. Costruisci, inscritto in $\Gamma$ il triangolo $ABC$ nella classe di similitudine che vuoi (equilatero o chessòio) mettendo le lettere di modo che BC sia il lato più grande (se c'è); con un'omotetia di centro A, sposta B e C allontanandoli finché uno di loro non finisce sulla curva Z (l'altro dunque sarà ancora all'interno: se è anche lui su Z abbiamo vinto!).

Ora sembra quasi fatta, ma per spostare anche C sulla curva, ci vuole un po' di arte... prendiamo due punti, X e Y, su Z che siano alla massima distanza possibile (ad esempio, in un'ellisse, gli estremi dell'asse maggiore, in un rettangolo gli estremi di una diagonale e così via). Muoviamo A lungo Z verso X, spostando anche C di modo che ABC rimanga della stessa classe di similitudine; se mentre A raggiunge X, C si trova ad un certo momento su Z, abbiamo vinto. Altrimenti, A coinciderà con X e C sarà ancora interno a Z (non è passato sulla curva, quindi è ancora dentro).

Adesso iniziamo a spostare B verso Y e facciamo variare C di modo che ABC rimanga sempre simile. Quando B coinciderà con Y, AB sarà la massima distanza possibile tra due punti su Z, quindi C dovrà trovarsi o su Z (e vinciamo!) o fuori. Se C si trova fuori, vuol dire che in qualche momento, mentre B si muoveva verso Y, C si è trovato su Z, e vinciamo di nuovo.

Chiaro? :D

Mike
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Re: curva chiusa e triangolo

Messaggio da Mike » 02 lug 2012, 22:20

Sì, è chiaro! Ti ringrazio :)
Con gli strumenti avanzati questa cosa (estesa a tutte le figure piane) si dimostra con facilità?

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Re: curva chiusa e triangolo

Messaggio da EvaristeG » 04 lug 2012, 18:10

Gli strumenti "avanzati" servono già per fare questa dimostrazione, li ho solo nascosti sotto parole falsamente rassicuranti.
Tutte le figure piane? intendi al posto del triangolo?

Mike
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Re: curva chiusa e triangolo

Messaggio da Mike » 05 lug 2012, 17:53

Intendevo quello, ma ci ho pensato un attimo e mi sono reso conto che non si può fare...

EvaristeG
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Re: curva chiusa e triangolo

Messaggio da EvaristeG » 05 lug 2012, 21:04

Ora, in realtà dipende come consideri il termine "inscritto" ... se vuol dire "tutto dentro la parte di piano finita delimitata dalla curva" beh allora non funziona nemmeno con i triangoli equilateri.
Se ti basta "con i vertici sulla curva", beh, già per i quadrilateri, rombi, parallelogrammi e rettangoli si inscrivono sempre, quadrati boh. :D
Quindi.. beh, capisci che la questione si complica!

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