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E' vero che data una qualsiasi curva chiusa, è possibile trovare tre punti su di essa che siano i vertici di un triangolo equilatero?

So che è una domanda tremenda, ma curva chiusa in che senso??
Non sapendo quanto ne sappia tu di matematica "universitaria", te lo chiedo così: una linea senza spigoli nel piano, che, opportunamente "stesa" e ritoccata possa diventare una circonferenza e tale che magari esista un certo raggio $r$ per cui se prendi un pezzettino della curva e guardi a distanza $r$ da lui "perpendicolarmente" non trovi altri pezzi di curva?
Una cosa così?

Diciamo di sì... cambia qualcosa se ha spigoli (o se figura chiusa è se io prendo una penna, faccio uno scarabocchio che non s'intrecci e torno al punto di partenza)?
A me pare che un triangolo equilatero si trovi sempre. Anzi, direi un qualsiasi triangolo simile a uno dato...

Nel 2010 è stato proposto un sottocaso come quesito di ammissione alla Scuola Superiore dell'Università di Udine. La richiesta era: data un'ellisse e scelto un suo punto, è possibile inscrivere nell'ellisse un triangolo equilatero che abbia un vertice nel punto scelto?

Se tu fai uno scarabocchio con la penna e torni al punto di partenza ottieni più o meno la cosa che ho descritto io, a parte il fatto che può avere spigoli.
Comunque quello che chiedi è vero per ogni classe di similitudine di triangoli e per ogni curva semplice chiusa, ma ovviamente più generale si vuol rendere l'enunciato e più difficile è la dimostrazione. Btw, quanta matematica sai? cioè, a che punto dei tuoi studi sei?

Conosco la matematica del liceo scientifico (tutta); nulla di quella universitaria...

Ok ... sarò vaghissimo XD Diciamo che i dettagli di ogni mia affermazione sono un esercizio per qualche universitario di passaggio.

Prendiamo una curva semplice chiusa Z (ovvero uno scarabocchio che non si interseca e torna al punto di partenza). Consideriamo una circonferenza $\Gamma$ all'interno di Z e muoviamo $\Gamma$ finché non tocca Z; chiama A uno dei punti di questo primo contatto. A questo punto $\Gamma$ sarà sempre all'interno di Z, ma la toccherà in qualche punto, uno dei quali è A. Costruisci, inscritto in $\Gamma$ il triangolo $ABC$ nella classe di similitudine che vuoi (equilatero o chessòio) mettendo le lettere di modo che BC sia il lato più grande (se c'è); con un'omotetia di centro A, sposta B e C allontanandoli finché uno di loro non finisce sulla curva Z (l'altro dunque sarà ancora all'interno: se è anche lui su Z abbiamo vinto!).

Ora sembra quasi fatta, ma per spostare anche C sulla curva, ci vuole un po' di arte... prendiamo due punti, X e Y, su Z che siano alla massima distanza possibile (ad esempio, in un'ellisse, gli estremi dell'asse maggiore, in un rettangolo gli estremi di una diagonale e così via). Muoviamo A lungo Z verso X, spostando anche C di modo che ABC rimanga della stessa classe di similitudine; se mentre A raggiunge X, C si trova ad un certo momento su Z, abbiamo vinto. Altrimenti, A coinciderà con X e C sarà ancora interno a Z (non è passato sulla curva, quindi è ancora dentro).

Adesso iniziamo a spostare B verso Y e facciamo variare C di modo che ABC rimanga sempre simile. Quando B coinciderà con Y, AB sarà la massima distanza possibile tra due punti su Z, quindi C dovrà trovarsi o su Z (e vinciamo!) o fuori. Se C si trova fuori, vuol dire che in qualche momento, mentre B si muoveva verso Y, C si è trovato su Z, e vinciamo di nuovo.

Chiaro?

Sì, è chiaro! Ti ringrazio
Con gli strumenti avanzati questa cosa (estesa a tutte le figure piane) si dimostra con facilità?

Gli strumenti "avanzati" servono già per fare questa dimostrazione, li ho solo nascosti sotto parole falsamente rassicuranti.
Tutte le figure piane? intendi al posto del triangolo?

Intendevo quello, ma ci ho pensato un attimo e mi sono reso conto che non si può fare...

Ora, in realtà dipende come consideri il termine "inscritto" ... se vuol dire "tutto dentro la parte di piano finita delimitata dalla curva" beh allora non funziona nemmeno con i triangoli equilateri.
Se ti basta "con i vertici sulla curva", beh, già per i quadrilateri, rombi, parallelogrammi e rettangoli si inscrivono sempre, quadrati boh.
Quindi.. beh, capisci che la questione si complica!