Matrici cicliche

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Simo_the_wolf
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Matrici cicliche

Messaggio da Simo_the_wolf » 16 mag 2012, 15:45

Una matrice quadrata n x n, $ A=\{ a_{i,j}\} $ e' detta "ciclica" se $ a_{i+1,j+1}=a_{i,j} $ (con l'ovvia convenzione che "$ n+1=1 $"
).
Si dimostri che, date due matrici cicliche qualunque, esse commutano. In quali casi la matrice prodotto e' ancora ciclica?

Carlein
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Re: Matrici cicliche

Messaggio da Carlein » 22 mag 2012, 18:30

Ciao,
un modo un pò frivolo per farlo(cioè ci sarebbe sempre il modo diretto di scrivere esplicitamente i conti)che ha una logica,nella strada della soluzione, un pò bizzarra e comporta pochi conti forse è questo: Se la tesi fosse vera allora sarebbe in particolare vero che presa una matrice ciclica A e preso un autospazio di A relativo ad un autovalore $ \lambda $ questo è uno spazio stabile per ogni matrice ciclica B(questo è una cosa nota e facilmente verficabile che porta al classico risultato che matrici diagonalizzabili che commutano ammettono diagonalizzazione simultanea). Quindi in particolare se troviamo una matrice ciclica A che ammette una base di autovettori,di autovalori tutti distinti,ciascuno di essi dovrà essere un autovettore di tutte le matrici cicliche(dalla considerazione di prima). Ora una matrice così c'è ed è quella che cicla la base canonica($ e_1 $ in $ e_2 $,$ e_2 $ in $ e_3 $ e così via);che ha come base di autovettori le colonne della Vandermone data dalle n radici dell'unità ed autovalori le n radici dell'unità.Quindi in buona sostanza,se la tesi è vera allora tutte le matrici cicliche hanno quella base di prima come base di autovettori,d'altronde se fosse vera quest'ultima cosa allora sarebbe vera anche la tesi(perchè un cambio di base fa diventare le matrici cicliche matrici nulle fuori dalla diagonale che notoriamente commutano):che quest'ultima cosa è vera si verifica subito con i calcoli. Quindi questo ragionamento ci ha portato a considerare in maniera naturale questa cosa un pò strana,che però dà subito risposta a tutte e 2 le richieste:le matrici cicliche rispetto alla base suddetta sono matrici nulle al di fuori dalla diagonale,d'altronde è chiaro che le matrici cicliche sono determinate dai valori messi a caso su una generica colonna,e che sono uno spazio vettoriale,quindi di dimensione n,essendo anche le matrici suddette di dimensione n,allora le matrici cicliche sono esattamente le matrici che rispetto a quella base hanno elementi al più sulla diagonale,che sono chiuse per prodotto,quindi lo sono anche le matrici cicliche(riconiugando tutto).
Lo stolto è colui che dice quello che sa.Il saggio è colui che sa quello che dice.
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Simo_the_wolf
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Re: Matrici cicliche

Messaggio da Simo_the_wolf » 22 mag 2012, 23:34

Mi sembra sostanzialmente corretto, però attenzione anche ai coefficienti... quando parli di spazio vettoriale e di dimensione, bisogna stare un po' attenti...

Un'altra soluzione, proposta da ma_go, passa attraverso il fatto che, detta A la matrice che sposta la base canonica, allora ogni matrice ciclica si scrive come $ Id a_{1,1} + A a_{2,1} + A^2 a_{3,1} + ... + A^{n-1}a_{n,1} $ dove $ a_{i,1} $ sono gli elementi della prima riga. Ora è ovvio che commutano tutte quante e si diagonalizzano tutte contemporaneamente, e contemporaneamente ad A. Inoltre il prodotto di due di esse è facilmente calcolabile, sapendo che $ A^n = Id $; in particolare, se sto considerando matrici a valori in un anello $ B $, allora le matrici cicliche sono isomorfe a $ B[x]/(x^n-1) $.

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Re: Matrici cicliche

Messaggio da fph » 22 mag 2012, 23:41

By the way, il nome che si usa in letteratura è "matrici circolanti".
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Carlein
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Re: Matrici cicliche

Messaggio da Carlein » 23 mag 2012, 23:15

@Simothewolf:i coefficienti io li prendevo in $ \mathbb{C} $ e gli spazi erano $ \mathbb{C} $spazi. Questo d'altronde implica che le relazioni polinomiali in 2n variabili comparenti in ciascuna entrata della matrice date dalla commutatività e dall'altra richiesta, sono relazioni soddisfatte da tutto $ (\mathbb{C})^{2n} $,quindi(per il Nullstellensatz ad esempio) sono proprio polinomi nulli,ossia sono relazioni che valgono formalmente(cosa di cui ci si può comunque accertare facendo il conto esplicito,diciamo che questo è un giro per evitarlo),quindi questo implica la tesi per coefficienti in ogni anello commutativo unitario.
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