Consideriamo in $\mathbb{Q}[x,y]$ l'ideale $I = (xy^2 -1)$.
$I$ è primo? massimale? Descrivere gli omomorfismi di anello $\mathbb{Q}[x,y] / I \to \mathbb{Q}$.
Help!
Ideale di $\mathbb{Q}[x,y]$
Re: Ideale di $\mathbb{Q}[x,y]$
Compito a casa eh?
Un ideale è primo se e solo se $ab\in I$ implica $a\in I$ o $b\in I$. In questo caso, vorresti dire che $a(x,y)b(x,y)=k(x,y)(xy^2-1)$ implica (wlog) $a(x,y)=h(x,y)(xy^2-1)$, ovvero vorresti dire che il polinomio $xy^2-1=0$ è primo o, il che è equivalente (why?), che è irriducibile. Ora, supponi che $xy^2-1=p(x,y)q(x,y)$. Poiché il dato ha grado $1$ in $x$, uno dei due polinomi deve essere di grado $0$ in $x$ e l'altro di grado $1$, quindi supponiamo che $p(x,y)=p(y)$ e $q(x,y)=xq_1(y)+c$; inoltre, poiché il dato ha grado $2$ in $y$, o $\deg_y p=\deg_y q_1=1$, oppure uno è 0 e l'altro è 2.
Se $\deg_y p=0$, siamo apposto, quella non è una fattorizzazione ($p$ a quel punto è costante, quindi invertibile, quindi $q=xy^2-1$ a meno di invertibili).
Se $\deg_y p=2$, si ha $(\alpha y^2+\beta y + \gamma)(dx+c)=xy^2-1$, il che implica $d\alpha=1$, $d\beta=0$, $c\beta=0$, $d\gamma=0$, $c\gamma=-1$, il che dà $\beta=0$, $d=0$, quindi $\deg_x q=0$, ovvero $q$ è costante.
Se infine sono entrambi $1$, devi avere
$$(\alpha y+\beta)(x(ey+d)+c)=xy^2-1$$
ovvero, tra le altre, $e\alpha=1$, $c\alpha=0$, $c\beta=-1$ che sono incompatibili.
Quindi è primo.
Sul massimale ... beh, non trovi un ideale più grande che lo contenga?
Gli omomorfismi non sono altro che omomorfismi $g:\mathbb{Q}[x,y]\to\mathbb{Q}$ tali che $g(xy^2-1)=0$.
Un omomorfismo dai polinomi ai razionali deve fissare i razionali (poiché $g(1)=1$) e poi basta determinarlo su $x$ e $y$, quindi
$g(x)=s$, $g(y)=t$ tali che $st^2-1=0$. Sapendo che $t=m/n$, con $(m,n)=1$, hai che $s=t^{-2}=n^2/m^2$.
Quindi gli omomorfismi sono quelli indotti sul quoziente da
$$g(1)=1,\ g(x)=\frac{n^2}{m^2},\ g(y)=\frac{m}{n}\;,$$
con $(m,n)=1$. Se $m/n\neq m'/n'$, le due $g$ ottenute sono diverse, anche sul quoziente (verificatelo).
Comunque i prossimi compiti falli da solo
.
Un ideale è primo se e solo se $ab\in I$ implica $a\in I$ o $b\in I$. In questo caso, vorresti dire che $a(x,y)b(x,y)=k(x,y)(xy^2-1)$ implica (wlog) $a(x,y)=h(x,y)(xy^2-1)$, ovvero vorresti dire che il polinomio $xy^2-1=0$ è primo o, il che è equivalente (why?), che è irriducibile. Ora, supponi che $xy^2-1=p(x,y)q(x,y)$. Poiché il dato ha grado $1$ in $x$, uno dei due polinomi deve essere di grado $0$ in $x$ e l'altro di grado $1$, quindi supponiamo che $p(x,y)=p(y)$ e $q(x,y)=xq_1(y)+c$; inoltre, poiché il dato ha grado $2$ in $y$, o $\deg_y p=\deg_y q_1=1$, oppure uno è 0 e l'altro è 2.
Se $\deg_y p=0$, siamo apposto, quella non è una fattorizzazione ($p$ a quel punto è costante, quindi invertibile, quindi $q=xy^2-1$ a meno di invertibili).
Se $\deg_y p=2$, si ha $(\alpha y^2+\beta y + \gamma)(dx+c)=xy^2-1$, il che implica $d\alpha=1$, $d\beta=0$, $c\beta=0$, $d\gamma=0$, $c\gamma=-1$, il che dà $\beta=0$, $d=0$, quindi $\deg_x q=0$, ovvero $q$ è costante.
Se infine sono entrambi $1$, devi avere
$$(\alpha y+\beta)(x(ey+d)+c)=xy^2-1$$
ovvero, tra le altre, $e\alpha=1$, $c\alpha=0$, $c\beta=-1$ che sono incompatibili.
Quindi è primo.
Sul massimale ... beh, non trovi un ideale più grande che lo contenga?
Gli omomorfismi non sono altro che omomorfismi $g:\mathbb{Q}[x,y]\to\mathbb{Q}$ tali che $g(xy^2-1)=0$.
Un omomorfismo dai polinomi ai razionali deve fissare i razionali (poiché $g(1)=1$) e poi basta determinarlo su $x$ e $y$, quindi
$g(x)=s$, $g(y)=t$ tali che $st^2-1=0$. Sapendo che $t=m/n$, con $(m,n)=1$, hai che $s=t^{-2}=n^2/m^2$.
Quindi gli omomorfismi sono quelli indotti sul quoziente da
$$g(1)=1,\ g(x)=\frac{n^2}{m^2},\ g(y)=\frac{m}{n}\;,$$
con $(m,n)=1$. Se $m/n\neq m'/n'$, le due $g$ ottenute sono diverse, anche sul quoziente (verificatelo).
Comunque i prossimi compiti falli da solo
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