Convergenza debole a $0$

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Simo_the_wolf
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Convergenza debole a $0$

Messaggio da Simo_the_wolf »

Salve, ieri mi era venuto in mente un problema di analisi funzionale abbastanza classico penso... Anzi una serie di problemi, e volevo proporli (di alcuni so già la soluzione di altri no. In generale denoto con $ f_{\varepsilon} (x) = \varepsilon^{-\frac np } f ( \frac x{\varepsilon} ) $ (la funzione riscalata, in modo che la norma $ L^p $ venga preservata)

1) (dovrebbe essere vero) $ f_{\varepsilon} \rightharpoonup 0 $ debolmente in $ L^p( \mathbb{R}^n ) $ se $ 1 < p < \infty $

2) trovare condizioni sufficienti (o necessarie) su $ f $ affinché la 1) sia vera nella topologia debole* di $ L^{\infty} $ o debole* $ L^1 $ o debole $ L^1 $
2a) mi sembra, ma non ne sono sicuro, che si riesce a scrivere bene la condizione (necessaria e sufficiente) per le convergenze deboli* se siamo in $ \mathbb{R} $, ma non riesco a generalizzarlo a dimensione superiore.

Good luck
ma_go
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Re: Convergenza debole a $0$

Messaggio da ma_go »

EDIT: come giustamente mi si fa notare, ho risolto il problema per $\varepsilon\to\infty$ invece di $\varepsilon\to 0$. metto la soluzione in quote (sostanzialmente, potete immaginare $\delta = 1/\epsilon$ e va tutto bene. poi sotto --grazie a Simo_the_wolf che mi fa anche notare che quello che ho risolto è il problema duale-- scrivo perché quello che ho dimostrato implica comunque la tesi.
ma_go ha scritto:dai, facciamo fuori quello facile...

A) chiamiamo $\chi_N$ la funzione indicatrice del cubo $[-N,N]^n$. rispolverando le dispense di teoria della misura, ci ricordiamo che, se $1<p<+\infty$, il duale di $L^p(\mathbb{R}^n)$ [che d'ora in poi sarà solo $L^p$] è $L^q = L^q(\mathbb{R}^n)$, dove $p$ e $q$ sono esponenti coniugati (cioè $1/p + 1/q = 1$).
prendiamo quindi una funzione $g\in L^q$, e osserviamo che, siccome i cubi $[-N,N]^n$ invadono $\mathbb{R}^n$, per ogni $\varepsilon'$ fissato c'è un $N'$ tale che $\|g\cdot(1-\chi_{N'})\|_{L^q}<\varepsilon'$.

B) adesso prendiamo $f_\delta$, e cerchiamo di capire quanto fanno $\|f_\delta\cdot\chi_N\|_{L^p}$ e $\|f_\delta\cdot(1-\chi_N)\|_{L^p}$. per definizione di $f_\delta$, la prima norma è $\|f_\delta\cdot\chi_N\|_{L^p} = \|f\cdot\chi_{N/\delta}\|_{L^p}$, e per ogni $\varepsilon''$ esiste un $\delta_0$ tale che $\|f_\delta\cdot\chi_N\|_{L^p}<\varepsilon''$ per ogni $\delta<\delta_0$. notare che non abbiamo fatto nessuna ipotesi su $N$, in particolare siamo completamente slegati dal punto A.

bene, ma adesso siamo a cavallo:
$\langle g,f_\delta\rangle := \int f_\delta\cdot g dx \le \int |f_\delta\cdot g|dx = \int |f_\delta\cdot g|\cdot \chi_Ndx + \int |f_\delta\cdot g|\cdot (1-\chi_N) dx$. (*)
fissiamo $\epsilon$: esiste $N$ tale che $\|g\cdot(1-\chi_N)\|_{L^q}<\varepsilon/(2\|f\|_{L^p})$ per la parte A, ed esiste un $\delta_0$ tale che $\|f_\delta\cdot\chi_{N}\|_{L^p}<\varepsilon/(2\|g\|_{L^q})$ per ogni $\delta<\delta_0$.
quindi possiamo ancora stimare la (*) usando la disuguaglianza di hölder, e osservando che $\|h\cdot\chi_N\|_{L^r}\le \|h\|_{L^r}$ per ogni $r\ge 1$, per ogni $h\in L^r$, e per ogni $N$ reale positivo:
$\langle g,f_\delta\rangle \le \int |f_\delta\cdot g|\cdot \chi_Ndx + \int |f_\delta\cdot g|\cdot (1-\chi_N) dx \le \|f_\delta\cdot\chi_{N}\|_{L^p}\|g\cdot\chi_{N}\|_{L^q} + \|f_\delta\cdot(1-\chi_{N})\|_{L^p}\|g\cdot(1-\chi_{N})\|_{L^q} < \varepsilon$
per ogni $\delta<\delta_0$.
cioè esattamente quello che volevamo.
veniamo alla dimostrazione del fatto originale: $f_\varepsilon\rightharpoonup 0$ per $\varepsilon\to 0$ se per ogni $g\in L^q$ si ha $\lim_{\varepsilon\to 0} \int f_\varepsilon g dx$.
ma $\int f_\varepsilon g dx = \int f g_{1/\varepsilon} dx$, e questo tende a zero per $\varepsilon\to 0$ perché $g_{\delta}$ tende debolmente a 0 in $L^q$ per quanto quotato sopra. :x
Simo_the_wolf
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Re: Convergenza debole a $0$

Messaggio da Simo_the_wolf »

Ohm... Mi spiace ma non mi torna un cambio di variabile... dovrebbe essere così...

$ \|f_\delta\cdot\chi_N\|_{L^p} = \|f\cdot\chi_{ N/\delta}\|_{L^p} $

Mi pare che cosi la dimostri quando $ \delta $ va dal infinito, che in realtà è il fatto duale...
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