[tex]a^x[/tex] e [tex]log_ax[/tex]

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
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Mike
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[tex]a^x[/tex] e [tex]log_ax[/tex]

Messaggio da Mike » 12 feb 2012, 20:43

Mi è venuto in mente un quesito di analisi matematica (da liceo). Per che valore/i di $ a $ i grafici di $ a^x $ e $ log_ax $ sono tangenti fra loro?

amatrix92
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Re: [tex]a^x[/tex] e [tex]log_ax[/tex]

Messaggio da amatrix92 » 13 feb 2012, 03:34

Assumo $ a>1 $, è chiaro che se $ a $ è soluzione lo è anche $ a^{-1} $. Di sicuro non v'è soluzione per $0<x<1 $ poichè in questo intervallo l'esponenzioale è strettamente maggiore di 1 e il logaritmo minore di 0. assumiamo quindi $x>1$.
Le funzioni $ a^x $ e $\log_a x$ sono l'una l'inversa dell'altra e sono dunque simmetriche rispetto alla retta $ y= x $. Nel loro (eventuale) punto di tangenza saranno quindi anche tangenti alla suddetta retta. Mi basta dunque trovare per quali a $ a^x $ è tangente ad $x$ , in tal caso lo sarà anche la sua funzione inversa.
Ipotizzo che per $ a=e^{\frac{1}{e} }$ le funzioni siano tangenti. Dall'equazione $ D ( a^x ) = 1 $ con il valore di a su detto ricavo $ x=e $ . Per tale valore di x le funzioni hanno lo stesso coefficiente angolare, manca solo controllare anche che hanno lo stesso valore in tal punto ed è vero perchè chiamrante $ e= e^{\frac{e}{e}} $ dunque per questo valore di a, le funzioni sono tangente in $ x=e$ .
Resta da dimostrare che non ci sono altri valori di $a$ per cui c'è tangenza, ma è tardi :P .
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

Il_Russo
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Re: [tex]a^x[/tex] e [tex]log_ax[/tex]

Messaggio da Il_Russo » 13 feb 2012, 10:42

amatrix92 ha scritto:è chiaro che se $ a $ è soluzione lo è anche $ a^{-1} $
Ne sei sicuro?
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amatrix92
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Re: [tex]a^x[/tex] e [tex]log_ax[/tex]

Messaggio da amatrix92 » 13 feb 2012, 14:20

Il_Russo ha scritto:
amatrix92 ha scritto:è chiaro che se $ a $ è soluzione lo è anche $ a^{-1} $
Ne sei sicuro?
Ovviamente no :mrgreen: . Basta disegnare un abbozzo dei grafici per capire che ho detto una castroneria. Si può comunque assumere a>1
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

Mist
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Re: [tex]a^x[/tex] e [tex]log_ax[/tex]

Messaggio da Mist » 13 feb 2012, 14:43

Boh, come al solito su questi problemi il mio approccio è molto rocambolesco :P

Definisco $f(x) = a^{a^x}$. Se esiste un $x$ tale che per il nostro $a$ valga che $a^x = \log_{a}{x}$, allora vale che $f(a^x) = a^x = \log_{a}{x}$. Possiamo ripetere questo processo tante volte quante vogliamo, sicchè possiamo dire che, detta $f^n(x)$ l'applicazione di $n$ volte di $f$ a $x$, vale che $f^n(a^x) = a^x = \log_{a}{x}$. Distinguo due casi: Se $a>1$, allora $a^x >1$ e quindi $f^n(a^x)$ è destinata a crescere indefinitivamente, quanto vuole, al crescere di $n$. Si avrebbe infatti che $f^n(a^x) < f^{n+1}(a^x)$, mentre noi abbiamo dimostrato che si deve avere che $f^n(a^x) = f^{n+1}(a^x)$ per ogni $n$. D'altro canto se $a<1$ si ha che $a^x<1$ e ancora $f^n(a^x) < f^{n+1}(a^x) <1$. Si ha quindi che si deve avere che $a=1$, ma $\log_{1}{x}$ non ha troppo senso :? Devo dedurre che il problema non ha soluzione ?
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Re: [tex]a^x[/tex] e [tex]log_ax[/tex]

Messaggio da Il_Russo » 13 feb 2012, 15:10

Mist ha scritto:Si avrebbe infatti che $f^n(a^x) < f^{n+1}(a^x)$
Questo è falso in generale

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1. ... 5Ex%29+-+x

Comunque potevi sospettare la presenza di un errore dal fatto che è stata trovata una soluzione
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Mist
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Re: [tex]a^x[/tex] e [tex]log_ax[/tex]

Messaggio da Mist » 13 feb 2012, 15:11

:oops: ook ...
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Re: [tex]a^x[/tex] e [tex]log_ax[/tex]

Messaggio da Mike » 13 feb 2012, 16:15

beh, la soluzione di amatrix è corretta.

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Re: [tex]a^x[/tex] e [tex]log_ax[/tex]

Messaggio da genialien » 02 mar 2012, 22:39

Beh esiste una soluzione un po' più analitica che richiede qualche conoscenza delle derivate. Se $ a^x $ e $ \log_ax $ hanno un punto in comune esso dovrà appartenere alla retta $ y=x $, che sarà quindi anche la tangente ai due grafici. Allora la derivata dell'esponenziale e del logaritmo dovranno essere uguali alla derivata della retta, che in questo caso sarà 1.
$ f(x)=a^x $ per cui $ f'(x)=a^x \log_e a = 1 $
$ g(x)=\log_ax $ per cui $ g'(x)= \frac{\log_a e}{x} = 1 $ studiate entrambe nel punto x.
allora per la seconda ho che $ x= \log_a e $ che sostituito nella prima mi dice che
$ a^{\log_a e} \log_e a = 1 $
$ e\; \log_e a = 1 $
$ \log_e a = \frac{1}{e}= \log_e {e^{\frac{1}{e}}} $
per cui ecco il risultato $ a= e^{\frac{1}{e}} $

EDIT: corretto un po' il TeX: ho sostituito $\log$ a $log$ un po' dovunque (c'è un backslash di differenza). ma_go
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Re: [tex]a^x[/tex] e [tex]log_ax[/tex]

Messaggio da julio14 » 05 mar 2012, 01:48

genialien ha scritto:Se $ a^x $ e $ \log_ax $ hanno un punto in comune esso dovrà appartenere alla retta $ y=x $
Perché? In generale non è vero che $ f(x)=f^{-1}(x)\Longrightarrow f(x)=x $. Cioè, in questo caso è vero, ma se dici perché magari è meglio.
genialien ha scritto:che sarà quindi anche la tangente ai due grafici.
Anche questo è vero in questo caso, ma dovresti dire perché... in generale, è del tutto falso che due funzioni tangenti in un punto della retta $ y=x $ siano tangenti anche alla retta.
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