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E' noto (o per lo meno così io so) che un'equazione del tipo $a^{f(x)}=g(x)$ non ha metodi di risoluzione non-grafici. Come può essere dimostrato questo fatto?

p.s.: può essere che ciò che ho chiesto è totalmente elementare, ma non sapevo dove postarlo.

$e^{x+2}=e^{2x+1}$?

fph ha scritto:$e^{x+2}=e^{2x+1}$?

Volevo intendere che $g(x)$ non è una funzione esponenziale.

$ e^x= k $

amatrix92 ha scritto:$ e^x= k $

Ammetto di non essere stato estremamente preciso, ma si capisce che volevo intendere $\deg(g(x))\geq1$. Comunque prima che mi diate un altro controesempio formulo la domanda in un altro modo.
Quando $a^{f(x)}=g(x)$ non può essere risolta con metodi non-grafici? Come si dimostra?

Intendi che $f(x)$ e $g(x)$ sono polinomi? Se sì, ora la tua domanda diventa più chiara...

fph ha scritto:Intendi che $f(x)$ e $g(x)$ sono polinomi? Se sì, ora la tua domanda diventa più chiara...

Yep

A questo punto, molto dipende da cosa vuol dire per te "risolvere".

In alcuni casi, puoi arrivare ad esibire materialmente un po' di soluzioni, e poi fare vari ragionamenti per dimostrare che non ce ne sono altre (per esempio, dimostrare che una certa funzione è crescente, partire dall'esistenza di un punto fisso ed arrivare a un assurdo). Questo in fondo è la stessa cosa che il tuo "metodo grafico", una volta che provi a farlo funzionare davvero formalmente. Questo per te è "risolvere"?

Altrimenti, potresti dire che "risolvere" vuol dire fare una serie di passaggi algebrici (presi da una lista di passaggi ammissibili) e arrivare a $x=\text{qualcosa}$. In questo caso, se fai passare la tua lista di passaggi ammissibili dovrebbe essere possibile mostrare che non ce n'è nessuno che è in grado di partire da quella forma $a^{f(x)}=g(x)$ e arrivare a qualcosa di sostanzialmente diverso.

Se invece per te "risolvere" vuol dire "trovare una soluzione dell'equazione che si scrive a partire da soli numeri razionali, le quattro operazioni, e radici", allora dovrebbe essere possibile scrivere delle equazioni di quella forma complicate a piacere ma che hanno soluzioni di quel tipo. Per esempio, prendi un polinomio complicato a piacere tale che $f(37)=1$ e scrivi $2^{f(x)}=2*f(x)$, che ha soluzione $37$.

fph ha scritto: Altrimenti, potresti dire che "risolvere" vuol dire fare una serie di passaggi algebrici (presi da una lista di passaggi ammissibili) e arrivare a $x=\text{qualcosa}$. In questo caso, se fai passare la tua lista di passaggi ammissibili dovrebbe essere possibile mostrare che non ce n'è nessuno che è in grado di partire da quella forma $a^{f(x)}=g(x)$ e arrivare a qualcosa di sostanzialmente diverso.

Intendevo proprio questo con "risolvere". E volevo capire come poterlo dimostrare.

Hmm ci ho pensato un po' meglio e non sembra facile con un insieme di "operazioni" abbastanza ampio da contenere tutto quello che si usa di solito. Non credo di saperlo fare, non credo che sia elementare, e non credo neppure che sia noto/vero/dimostrato.

fph ha scritto:Hmm ci ho pensato un po' meglio e non sembra facile con un insieme di "operazioni" abbastanza ampio da contenere tutto quello che si usa di solito. Non credo di saperlo fare, non credo che sia elementare, e non credo neppure che sia noto/vero/dimostrato.

Allora non era grave che non riuscissi a dimostrarlo.