Parabole

[Mike]

Chiedo scusa in anticipo se sto scrivendo nella sezione sbagliata, ma non sapevo dove farlo.
Mi è recentemente venuta in mente una "congettura" (chiamiamola così).
Immaginiamo di avere una parabola con la concavità verso l'alto, disegnata nel piano cartesiano; cancelliamo ora gli assi e i riferimenti alle unità di misura. E' per caso vero che questa parabola può rappresentare qualsiasi altra parabola, purché abbia lo stesso verso di concavità? Il fatto è banale se si parla di traslazioni, ma è vero anche se cambia l'ampiezza?

[ma_go]

traducendo in termini più aulici: abbiamo una parabola $\gamma: y=ax^2+bx+c$ nel piano cartesiano con $a>0$; è vero che c'è composizione di un'omotetia* ed una traslazione che trasporta $\gamma$ sulla parabola "standard" $y=x^2$?

* la tua versione potrebbe anche essere interpretata in maniera più larga, ignorando la "conservazione di scala".

[Claudio.]

Adesso intuitivamente mi verrebbe da dire che la funzione $\displaystyle\frac{f(nx)}n$ sia una contrazione o dilatazione, con rapporto n, della funzione $f(x)$. Da questo segue subito...