0.99999...=1 ??

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EvaristeG
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Re: 0.99999...=1 ??

Messaggio da EvaristeG » 22 ott 2011, 00:45

"logicamente" cosa vuol dire 0.2222222222... con infiniti "due" dopo la virgola? La tua logica è in realtà quello che si chiama senso comune o buon senso (e non sempre il buon senso è comune, ma questa è un'altra storia...). E il senso comune riesce a comprendere 0.2 (2 decimi) o 0.22 (22 centesimi) o qualunque cosa del genere... quando ne ha davanti infiniti cosa fa? Non riesce a comprendere tutto insieme quel numero e allora lo fa un passo per volta. Cioè, 0.2222.... è un numero a cui tu ti puoi avvicinare sempre più continuando ad aggiungere 2/10^k, al crescere di k. Allora, quant'è? boh, ma è più grande di tutti i numeri 0.222....22 con un numero finito di 2 ed è più piccolo di tutti i numeri 0.22...223 con un numero finito di 2.
E già qui il senso comune vacilla: cosa vuol dire sta roba?? come faccio a capirla "al volo"? intuitivamente? non posso. Mi serve di far della matematica. Se provi a farlo per 0.999... ovviamente vedrai che non può essere che 1.

Se conosci i paradossi di Zenone, mentre tutto il mondo si stupisce che qualcuno sostenga che Achille non raggiungerà mai la tartaruga, tu ti stai stupendo perché c'è chi dice che addirittura la supera... il primo problema "logico" è che una somma di infiniti numeri non sembra "sensato" che sia finita. Puoi dimostrarlo (1/2+1/4+1/8 +----=1), ma non dare una "giustificazione". L'unica è quella matematica, oppure quella empirica del fatto che il buon Achille per cena avrà zuppa di testuggine.

La tua domanda sembra invece essere: ma 1/2+1/4+1/8+.... è una somma di tanti pezzi più piccoli di uno, tutti diversi, tutti sempre più piccoli e ogni somma finita è più piccola di 1, come fa a non essere più piccola e diversa da 1?? (vedrai che la tua domanda è esattamente questa, se scriviamo in base 2).

Il fatto fondamentale è che la scrittura che usiamo noi non è una rappresentazione accurata e istintiva dei numeri reali (che per loro natura non sono granché istintivi di loro ... dio fece i naturali, il resto è opera dell'uomo, qualcuno disse). Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.

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Re: 0.99999...=1 ??

Messaggio da mate!!! » 22 ott 2011, 17:28

EvaristeG ha scritto:...la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
Credo che questa frase riassuma perfettamente il tema in oggetto :lol:
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Nonno Bassotto
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Re: 0.99999...=1 ??

Messaggio da Nonno Bassotto » 23 ott 2011, 15:36

Drago96 ha scritto:Non capisco l'intervento di Nonno Bassotto sui reali... :?
Perchè $0,\bar 9\in\mathbb Q$ no? (Anzi, è addirittura intero)
Mai detto che non lo sia. Ho solo detto che quando si usa una notazione di un numero con infinite cifre decimali bisogna definire di cosa si sta parlando. Quelli con finite cifre decimali possono essere ricondotti alle frazioni in modo immediato, gli altri non tutti.
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Re: 0.99999...=1 ??

Messaggio da OriginalBBB » 02 nov 2011, 14:29

Una via logica: i numeri reali sono punti su una retta, due numeri reali sono distinti se i corrispondenti punti sono distinti, che è come dire se è possibile trovare un numero, od equivalentemente, infiniti numeri/punti, tra i due di partenza.

Ma che numero c'è tra 0,999999...... ed 1?

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