0.99999...=1 ??

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0.99999...=1 ??

Messaggio da mate!!! » 13 ott 2011, 20:36

Si può dimostrare matematicamente che 0.9999..(periodico) è uguale a 1. Ma è davvero così? Cioè io logicamente non riesco ad accettare questo concetto... personalmente ho visto sempre la matematica come la scienza perfetta per eccellenza e questa uguaglianza (che ho scoperto oggi per caso) è tutt'altro che perfetta... o no?
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ant.py
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Re: 0.99999...=1 ??

Messaggio da ant.py » 13 ott 2011, 20:46

se hai un numero come 0,9999999(N) con un numero N di 9, allora hai che è minore di 1.

se scrivi 0,9 periodico intendi il limite della successione (0,99999....), che è appunto uguale a 1

un altro modo per convincerti è andare a calcolare la funzione generatrice del numero 0,9... http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_decimale_periodico

il risultato è 1 :mrgreen:

o ancora (sempre da wiki):

$ x = 0,\overline{9} $
$ 10x = 9,\overline{9} $
$ 10x - x = 9,\overline{9} - 0,\overline{9} $
$ 9x = 9 $
$ x = 1 $
Ultima modifica di ant.py il 13 ott 2011, 20:54, modificato 2 volte in totale.
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Re: 0.99999...=1 ??

Messaggio da <enigma> » 13 ott 2011, 20:51

In MNE? :shock:
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Re: 0.99999...=1 ??

Messaggio da mate!!! » 13 ott 2011, 21:31

ant.py ha scritto:se hai un numero come 0,9999999(N) con un numero N di 9, allora hai che è minore di 1.

se scrivi 0,9 periodico intendi il limite della successione (0,99999....), che è appunto uguale a 1

un altro modo per convincerti è andare a calcolare la funzione generatrice del numero 0,9... http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_decimale_periodico

il risultato è 1 :mrgreen:

o ancora (sempre da wiki):

$ x = 0,\overline{9} $
$ 10x = 9,\overline{9} $
$ 10x - x = 9,\overline{9} - 0,\overline{9} $
$ 9x = 9 $
$ x = 1 $


Capisco che matematicamente può essere dimostrabile però, non so voi, ma io a livello logico non riesco a comprendere come un numero infinitamente vicino a 1 possa essere uguale a 1 :?
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Re: 0.99999...=1 ??

Messaggio da julio14 » 13 ott 2011, 21:53

<enigma> ha scritto:In MNE? :shock:
Beh, se qualcuno si mettesse a formalizzare il concetto di rappresentazione decimale, l'argomento (anche se semplice) non sarebbe elementare, e sarebbe subito chiaro perché $0,\overline{9}=1$. Anche perché, per una questione del genere le risposte sono possibili sono solo due: la prima è "Una serie è una successione di somme finite di eccetera eccetera" e la seconda è "Guardalo intensamente e convincitene."
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Re: 0.99999...=1 ??

Messaggio da Il_Russo » 14 ott 2011, 00:45

Senza entrare nei dettagli, la rappresentazione in base 10 (ma in realtà qualunque base b), se si ammettono tutte le scritture, non dà l'unicità: alcuni numeri potranno essere rappresentati in più modi. Per avere l'unicità di solito si vietano appunto le scritture in cui tutte le cifre da un certo punto in poi sono 9 (o b-1). Quindi 0,9 periodico e 1 sono due scritture diverse dello stesso numero reale.
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Re: 0.99999...=1 ??

Messaggio da Nonno Bassotto » 15 ott 2011, 18:53

Credo che la tua confusione nasca dal fatto che nessuno ti ha mai definito che cos'è un numero reale. Ad un certo punto ti è stato insegnato ad usare una rappresentazione decimale con infinite cifre dopo la virgola come se niente fosse, ma se ci pensi un attimo non è affatto chiaro di cosa stiamo parlando.

Quando scrivo un numero con alcune (finite) cifre dopo la virgola, posso sempre ricondurlo a qualcosa che già conosco, le frazioni. Ad esempio

$ 3,425 = 3 + \frac{4}{10} + \frac{2}{100} + \frac{5}{1000}. $

Ma cosa vuol dire una scrittura come 1,23456789101112131415161718192021...? Se lo traduco come prima mi troverei a fare una somma infinita. Questa è una cosa che sotto certe condizioni si può fare, ma bisogna definirla per bene. Quindi non è possibile parlare di dare un senso allo sviluppo decimale infinito prima di parlare di limiti e somme infinite.

Ma per parlare di queste cose serve di conoscere già i numeri reali, e dunque questi non possono essere introdotti come "numeri con infinite cifre dopo la virgola" senza mordersi la coda. (Ok, volendo si può ma è più complicato.)

Quindi i numeri reali vanno introdotti prima, in un modo diverso. Una volta che li si è introdotti si può parlare di rappresentazione decimale. Questa però è solo una rappresentazione: non c'è niente di strano che un numero possa avere due rappresentazioni diverse, e l'apparente paradosso svanisce.

La situazione è più o meno la stessa di rappresentare il numero 3/5 come 6/10 o 9/15. Le scritture sono diverse ma il numero rappresentato è lo stesso.
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Re: 0.99999...=1 ??

Messaggio da Drago96 » 15 ott 2011, 19:29

Non capisco l'intervento di Nonno Bassotto sui reali... :?
Perchè $0,\bar 9\in\mathbb Q$ no? (Anzi, è addirittura intero)

E ora mi è venuta in mente una cosa...
Alle medie mi avevano insegnato che un numero periodico può essere rappresentato come frazione scrivendo a numeratore (parte intera e parte periodica senza la virgola) - (parte intera) e a denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo.
Qualcuno potrebbe darmi una dimostrazione di questo fatto (se non è troppo avanzata) ?

Dato che questo risolverebbe il "paradosso" dato che applicando la regola si otterrebbe $\displaystyle{0,\bar 9=\frac{09-0} 9 = 1}$
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Re: 0.99999...=1 ??

Messaggio da <enigma> » 15 ott 2011, 19:47

Una volta identificato per definizione un elemento generico di $ \mathbb R \setminus \mathbb Q $ con una coppia di classi contigue che non ammette un numero (razionale) separatore, si potrebbe anche mettere in termini di sezioni di Dedekind: $1$ è l'elemento separatore della coppia di classi contigue $ \left (\{ x \in \mathbb R : x <1 \} , \{ x \in \mathbb R : x >1 \} \right ) $ in cui si può partizionare $ \mathbb R \setminus \{ 1 \} $... soltanto che si verifica facilmente che anche $ 0,\bar 9 $ lo è! A questo punto, se l'elemento separatore esiste è unico, ergo la conclusione. Questi fatti sono di facile dimostrazione... ma è tanto che li ho studiati, nel caso correggetemi.

@Drago96: scrivi in termini di serie e vedrai che viene senza difficoltà.
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Re: 0.99999...=1 ??

Messaggio da Drago96 » 16 ott 2011, 12:21

Inizio con una cifra periodica...
$\displaystyle{a,\bar b =a+0,\bar b = a+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{b}{10^i}=a-b+b\cdot\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{10^i}}$
Ora ragioniamo su quella sommatoria... $\displaystyle{\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{10^i}= \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{10^i}=\lim_{n\to\infty}\frac{1-\left(\frac 1{10}\right)^n}{1-\frac 1{10}}=\frac{10}{9}}$
E tornando sopra abbiamo $\displaystyle{a,\bar b=a-b+\frac{10b} 9 = \frac{9a+b}9=\frac{10a+b-a}9}$
Che è proprio quello che volevamo! :D
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Re: 0.99999...=1 ??

Messaggio da FrancescoVeneziano » 16 ott 2011, 12:57

Premesso che in realtà da dimostrare non c'è nulla ed il problema è più di definizione dei numeri reali, io ho trovato che la seguente argomentazione in genere convince gli increduli più che il calcolo di una serie o discussioni sui tagli di Dedekind:
Sei d'accordo che tra due numeri reali distinti c'è sempre un altro numero reale in mezzo? (e qui ci credono tutti)
Sai darmi un numero reale tra $0,\bar{9}$ e 1? Che cifre ha? (e qui boccheggiano, o non capiscono la domanda e mi allontano depresso).
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Re: 0.99999...=1 ??

Messaggio da mate!!! » 16 ott 2011, 16:09

Drago96 ha scritto:Inizio con una cifra periodica...
$\displaystyle{a,\bar b =a+0,\bar b = a+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{b}{10^i}=a-b+b\cdot\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{10^i}}$
Ora ragioniamo su quella sommatoria... $\displaystyle{\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{10^i}= \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{10^i}=\lim_{n\to\infty}\frac{1-\left(\frac 1{10}\right)^n}{1-\frac 1{10}}=\frac{10}{9}}$
E tornando sopra abbiamo $\displaystyle{a,\bar b=a-b+\frac{10b} 9 = \frac{9a+b}9=\frac{10a+b-a}9}$
Che è proprio quello che volevamo! :D
Grazie per l'impegno a te e agli altri :D
Cmq nella domanda avevo premesso che riesco a comprendere che matematicamente 0,9 periodico e 1 sono la stessa cosa. Conosco la definizione di numero reale e i concetti di classi contigue con annesso elemento separatore...
La mia domanda era un'altra: lasciate perdere la matematica (non mi fucilate :cry: ), secondo me in questo caso esiste un contrasto tra matematica e logica, contrasto che non sono stato abituato a trovare nel corso dei miei studi (sono al liceo); per logica io penso che un numero infinito di 9 dopo lo 0 non arriverà mai a formare un'unità. LOGICAMENTE non matematicamente ve la sentite di affermare che 0,9 periodico e 1 sono la stessa cosa???
Siccome mi sembra di essere stato troppo ripetitivo e rischio di fare infuriare molti matematici del forum, non siete obbligati a rispondere a questa domanda, che avevo posto solo ed esclusivamente per avere un'opinione su questa apparente sfasatura tra piano della logica e piano della matematica che per me erano stati sempre coincidenti.
PS: forse l'interpretazione sbagliata della domanda nasce dal fatto che la sezione in cui è stata postata (MNE) non è proprio adatta all'argomento, so che qui si richiedono dimostrazioni e non discussioni di questo tipo. Perdonatemi :oops:
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Re: 0.99999...=1 ??

Messaggio da Mist » 16 ott 2011, 16:43

u.u in effetti forse andrebbe in cultura matematica...

Comunque a me la matematica piace appunto perchè dice cose che la logica non fa sembrare evidenti e che anzi, alle volte sembrano assurde (se non si guarda la dimostrazione)... Insomma, secondo me la "sfasatura" di cui parli è il bello del gioco XD ok, verrò fucilato pure io a questo punto mi sa O.o
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1Cor 13:2

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Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102

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Re: 0.99999...=1 ??

Messaggio da Drago96 » 16 ott 2011, 17:16

Beh, la matematica non va contro la logica...
è solo che quando ci si trova davanti l'infinito è un po' dura dire cosa è logico e cosa no... :evil:
Vedi ad esempio questo caso delle infinite cifre decimali, o per esempio, l'esistenza di diversi infiniti ($\aleph_0 = |\mathbb N | = |\mathbb Z| = |\mathbb Q | <|\mathbb R |=\mathfrak c =2^{\aleph_0}$ )

Certamente è più immediato dire "beh, dai... $1-0,\bar 9$ farà qualcosa come $0,0000\dots 001 $ "... peccato che quel numero sarebbe $10^{-\infty}=0$ :D
O dire che i numeri pari sono di meno dei numeri naturali... e può sembrare "illogico" quanto vuoi, ma finchè $f(x)=2x$ sarà biiettiva bisogna rassegnarsi a $|\mathbb N | = |\mathbb P|$

P.S: di quanto detto sopra sono piuttosto sicuro, ma se per caso l'infinito mi ha dato alla testa di nuovo, vi prego di dirmelo... :roll:

EDIT: risolto... \overline{456} dà $\overline{456}$ :)
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Re: 0.99999...=1 ??

Messaggio da fph » 16 ott 2011, 22:08

Se vuoi, puoi spostare il problema altrove: definisci un insieme $\mathcal{R}$ come l'insieme di tutti gli sviluppi decimali finiti e infiniti (considerati come distinti); poi cerchi di definire le comuni operazioni su di esso, e di dimostrare le proprietà solite (assiomi di campo in pratica) e vedi dove le cose cominciano a non funzionare. Probabilmente qualche variante delle comuni "dimostrazioni" che 0.999...=1 risulterà in un assurdo.
Questo se vuoi mima il percorso logico che viene fatto nelle scuole, solo che lì la definizione delle operazioni è fatta un po' alla buona e nessuno si cura di dimostrare che gli assiomi di campo funzionano (e credo bene, perché non ci riuscirebbero, visto che c'è solo un campo ordinato completo...)
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

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