La congettura $abc$

[<enigma>]

Piccolo thread metà esercizio e metà divulgazione su un'importante congettura ancora troppo poco conosciuta.

Consideriamo una soluzione all'equazione $a+b=c$ coi tre numeri a due a due coprimi. Il radicale $\text{rad}(n)$ di $n$ è definito come il prodotto dei fattori primi distinti di $n$, presi con esponente $1$. Una terna $(a, b, c)$ di soluzioni all'equazione è detta una terna $abc$ se $\text{rad}(abc)<c$.

Esercizio 1. Dimostrare che esistono infinite terne $abc$.

Congettura $abc$. Fissato $\varepsilon >0$, esiste un numero finito di terne $abc$ tali che $c>\text{rad}(abc)^{1+\varepsilon}$.

Esercizio 2. DImostrare che la limitazione $\varepsilon>0$ è essenziale.

Esercizio 3. Assumendo la congettura $abc$, dimostrare l'ultimo teorema di Fermat per esponenti $\geq 6$.

Esercizio 4. Assumendo la congettura $abc$, dimostrare la congettura di Catalan per i casi in cui la somma dei reciproci dei tre esponenti è minore di $1$.

Fin qui è tutto elementare, ora un po' meno.

Esercizio 5. Sia $\mathcal Q (x, y)=0$ un'equazione diofantea con $\mathcal Q \in \mathbb Z [x, y]$: allora, assumendo la congettura $abc$, se il genere di $\mathcal Q$ è maggiore di $1$ tale equazione ha un numero finito di soluzioni. (teorema di Faltings)

Esercizio 6. Sia $P(x) \in \mathbb Z[x]$ con almeno tre zeri semplici. Assumendo la congettura $abc$, dimostrare che $P(\mathbb N)$ contiene un numero finito di potenze perfette. (teorema di Schinzel-Tijdeman)

Esercizio 7. (congettura, anzi teorema, $abc$ per polinomi) Siano $P$, $Q$, $R$ polinomi a due a due senza fattori comuni e non tutti costanti tali che $P+Q=R$. Se $\deg(R)\geq \deg(P), \deg(Q)$ e $\text{rad}(P)$ è definito come il prodotto dei fattori irriducibili di $P$ con esponente $1$, allora $\deg(R)<\deg(\text{rad}(PQR))$. (teorema $PQR$ o teorema di Hurwitz-Stothers-Mason)

Per ora è tutto, rilanci con teoremi implicati dalla congettura $abc$ sono ben accetti.

[dario2994]

Bon riesumo questa perla:
Esercizio 1/2 (mi pare, a meno di interpretazioni errate, che gli esercizi 1 e 2 siano lo stesso )
Pongo $a=9^n-1$, $b=1$, $c=9^n$.
Sono coprimi banalmente.
Vale banalmente $a+b=c$.
E, dato che $8|a$ vale: $rad(abc)=rad(ac)\le rad(a)rad(c)=rad(a)\cdot 3\le \frac{a}4\cdot 3=\frac{3(c-1)}4<c$.
E quindi ho trovato una terna abc e al variare di $n$ negli interi positivi ne trovo infinite.

[Simo_the_wolf]

Uhm la congettura abc penso dica più di preciso: per ogni $ \varepsilon >0$ esiste una costante $C_{\varepsilon}$ tale che $rad (abc) ^{ 1+ \varepsilon } < C_{\varepsilon} c $ non abbia soluzioni, o ne abbia al più un numero finito.

[<enigma>]

Sì, quella è una formulazione ancora più forte; che io sappia ne è stata proposta anche una versione in cui si può mettere $\varepsilon ^{-\omega (abc)} \text{rad} (abc)$ al posto di $\text{rad}(abc)$.

[Ido Bovski]

http://www.nature.com/news/proof-claime ... es-1.11378