Equazione Differenziale

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dummy
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Equazione Differenziale

Messaggio da dummy » 25 ago 2011, 12:31

Ciao a tutti :D Vi metto qui un problema carino riguardante un'equazione differenziale.

Consideriamo l'equazione differenziale $ \displaystyle y''=\frac{y'}{2\sqrt{y}} $, con $y>0$. Allora dimostrate che ogni soluzione non costante è strettamente monotona. ciao ciao

paga92aren
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Re: Equazione Differenziale

Messaggio da paga92aren » 29 ago 2011, 21:29

Posto una quasi soluzione...
Divido in due casi:
1) Se esistono $a,b$ tali che $y(a)=y(b)$ allora per waiestrass la funzione ha massimo e minimo nell'intervallo $[a,b]$. Se il massimo non è agli estremi allora esiste $c$ tale che $y'(c)=0$ e $y''(c)<0$ che contraddice l'ipotesi (lo stesso vale per il minimo), quindi massimo e minimo in $[a,b]$ sono agli estremi e valgono $y(a)$ di conseguenza la funzione è costante in quell'intervallo.
Definisco $b=\sup {x|y(x)=y(a)}$ quindi vale che $\lim_{x\rightarrow b^-}y=y(a)=y(b)$ perché $y$ è continua e quindi $b$ è anche $b=\max{x|y(x)=y(a)}$. Lo stesso vale per il minimo.
Per $x<a$ vale che $y(x)=y(a)$ perché se in un intorno sinistro di $a$ (wlog) $y'>0$ $\Rightarrow$ $y''>0$ quindi $y'$ è crescente, positiva e continua ma in $a$ $y'=0$ che è assurdo.
Quindi $y$ è costante per valori minori di $b$.
[da qui dimostro che è costante anche per valori maggiori, ma non so come e quindi $y=k$]

2) $y$ è iniettiva.
Poiché $y$ è derivabile è anche continua quindi o è strettamente crescente o strettamente decrescente.
Se è strettamente decrescente $y'\leq 0$ anche $y''\leq 0$ quindi $\exists \epsilon>0$ tale che $y'<-\epsilon$. Definisco $g(x)=y+\epsilon x$ quindi $g'(x)=y'+\epsilon <0$ essendo $g(x)$ decrescente vale per $x>0$ $y+\epsilon x<g(0)$ da cui $0<y<-\epsilon x +g(0)$ che è assurdo per $x>\frac{g(0)}{\epsilon}$

Ho quasi concluso manca da concludere il punto 1.

pic88
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Re: Equazione Differenziale

Messaggio da pic88 » 03 set 2011, 11:30

paga92aren ha scritto: 1) Se esistono $a,b$ tali che $y(a)=y(b)$ allora per waiestrass la funzione ha massimo e minimo nell'intervallo $[a,b]$. Se il massimo non è agli estremi allora esiste $c$ tale che $y'(c)=0$ e $y''(c)<0$ [...]
Weierstrass. Ma poi, per $y(x)= -x^4$ nell'intervallo $[-1,1]$, chi sarebbe $c$?

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Re: Equazione Differenziale

Messaggio da exodd » 04 set 2011, 14:16

Non sono un asso nelle equazioni differenziali, ma...
Integrando da una parte e dall'altra, non viene
$ y'=\sqrt{y}+c $
?

E poi, dato che la derivata prima è sempre positiva, la funzione è crescente..
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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Re: Equazione Differenziale

Messaggio da fph » 04 set 2011, 20:17

Ma $\sqrt{y}+c$ mica è sempre positivo, dipende dal valore di $c$...
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Re: Equazione Differenziale

Messaggio da exodd » 04 set 2011, 21:16

fph ha scritto:Ma $\sqrt{y}+c$ mica è sempre positivo, dipende dal valore di $c$...
Got me :)

Ok.. Risolvendo l'equazione differenziale viene fuori
$ 2\sqrt{y}=2c*ln(|\sqrt{y}+c|)+x+d $
dove d è un'altra costante..

Da adesso in poi posso dire corbellerie, quindi correggetemi..

sappiamo che se c è positivo, allora la tesi è dimostrata, quindi poniamo c negativo.

Analizziamo la funzione $ 2\sqrt{x}-2c*ln(|\sqrt{x}+c|)+d=y $
Notiamo che ha un asintoto verticale in $ x=c^2 $, dove la funzione vale meno infinito sia a destra che a sinistra.
Nel resto del suo dominio, invece, è continua.
Ciò vuol dire che esisterà sicuramente un M abbastanza piccolo tale che $ f(c^2-\alpha)=f(c^2+\beta)=M $.

Quindi la funzione non è iniettiva con c negativo.
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
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