limite di combinazioni lineari

[ma_go]

siano $\alpha, \beta$ siano due reali positivi incommensurabili (ovvero, $\alpha/\beta$ è irrazionale). ordiniamo l'insieme $C=\{m\alpha+n\beta \mid m,n\in\mathbb{N}\}$ delle loro combinazioni lineari intere non-negative, ovvero $C=\{c_k\mid k\in \mathbb{N}\}$, dove $c_k < c_{k+1}$ per ogni $k$.

si accettano scommesse (e dimostrazioni) su quanto fa $\displaystyle \lim_{k\to\infty} \frac{c_k^2}{k}$.

[exodd]

scommetto su 1..
Posto il delirio del mio ragionamento solo se mi dite che è giusto XD

[ma_go]

se sostituisci $\alpha, \beta$ con $\lambda\alpha, \lambda\beta$, il limite (ammesso che esista) passa da $\ell$ a $\lambda\ell$: in che senso il limite sarebbe 1?

[dario2994]

Era più figo quando non c'era l'ipotesi "incommensurabili"... quindi piazzo il bonus

Bonus del soprannome anatra:
E se $\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}\in\mathbb{Q}$ quanto vale $\displaystyle\lim_{k\to\infty}\frac{c_k^2}{k}$

Bonus dell'anatra soprannominata:
E se $\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}\in\mathbb{Q}$ quanto vale $\displaystyle\lim_{k\to\infty}\frac{c_k}{k}$

[patatone]

il massimo che sono riuscito a fare per ora è dire che la successione converge sempre ed il limite è compreso tra $2\alpha^2$ e $2\beta^2$ (cosa che spero sia giusta).
Per quel che riguarda il limite di $\frac{c_k}{k}$ direi che fa 0 invece....

[dario2994]

il massimo che sono riuscito a fare per ora è dire che la successione converge sempre ed il limite è compreso tra $2\alpha^2$ e $2\beta^2$ (cosa che spero sia giusta).

È giusta

Per quel che riguarda il limite di $\frac{c_k}{k}$ direi che fa 0 invece....

Ricorda che nel mio bonus sono commensurabili... (che non esclude faccia 0, ma lo debanalizza )

[patatone]

ok, come in effetti mi aspettavo mi viene che il limite è $2\alpha\beta$. Però probabilmente ho segato qualcosa perchè non uso minimamente il fatto che la frazione sia commensurabile o no... appena ho tempo spiego come ho ragionato

[dario2994]

Il risultato è giusto e secondo me non hai segato, solo non ti accorgi di dove usi che sono incommensurabili (se sono commensurabili il risultato ovviamente cambia)