Due connessioni

[Anér]

Chiedo subito a qualcuno che se ne intende se esiste un vocabolario più adatto a quanto sto per scrivere.
Sia $A\subseteq \mathbb{R}^n$. Diciamo che due punti x e y appartenenti ad A sono amici se ogni volta che si bipartisce A in due sottoinsiemi B e C tali che $x\in B$ e $y\in C$, allora esiste un punto $z\in A$ che appartiene ad uno tra B e C (ovviamente) ed è di accumulazione per l'altro tra B e C a cui non appartiene.
1) Dimostrare che l'amicizia è una relazione di equivalenza tra gli elementi di A.
Diciamo ora che due elementi x e y sono fratelli se esiste una funzione continua $f\colon [0,1]\rightarrow A$ tale che $f(0)=x$ e $f(1)=y$.
2) Dimostrare che anche la fratellanza è una relazione di equivalenza;
3) Dimostrare che due fratelli sono sempre amici;
4) Dimostrare che se A è aperto allora due amici sono sempre fratelli;
5) Determinare se è vero sempre che gli amici sono anche fratelli.

[edriv]

Il vocabolario dovrebbe essere
amici = "appartengono alla stessa componente connessa"
fratelli = "appartengono alla stessa componente connessa per archi"
ma purtroppo questo vocabolario non rispetta affatto l'aspetto della relazione di equivalenza, e quindi in questo topic apprezzeremo ben volentieri la tua terminologia!

[Anér]

Non capisco, il fatto che sia una relazione di equivalenza non dovrebbe dipendere da come la chiami. Intendi dire che prima si dimostra che è una relazione di equivalenza, poi si parla di "componente connessa" quanto si è sicuri che esiste? O forse intendi dire che i tuoi sono termini più generali e che solo in $\mathbb{R}^n$ vale quanto ho scritto?

[julio14]

Per quanto riguarda la terminologia penso che intendesse semplicemente dire che "x è amico di y" è molto più carino di dire "x appartiene alla stessa componente connessa di y". In ogni caso, i termini usati da edriv sono più generali, hanno senso in qualunque spazio topologico (click!).
Si può generalizzare anche il concetto di punto di accomulazione, dicendo che $x$ è di accomulazione per $A$ se $x$ appartiene alla chiusura di $A$. Mettendo giù le cose in questo modo, le tue definizioni si estendono direttamente a uno spazio topologico. Per quanto riguarda l'amicizia, è forse più chiaro vederla così (o comunque con questa formulazione è più facile da trattare): dato $X$ spazio topologico $x$ e $y$ sono amici se per ogni $A,B\subseteq X$ aperti tali che $A\cap B=\emptyset$ e $A\cup B=X$ allora $x\in A\Leftrightarrow y\in A$. Si mostra facilmente che questa è una relazione d'equivalenza.
Ora, si definisce connesso uno spazio che non è partizionabile con $A,B\subseteq X$ aperti tali che $A\cap B=\emptyset$ e $A\cup B=X$ e $A,B$ entrambi non vuoti. La componente connessa di $x$ si definisce come unione dei sottospazi (un sottospazio $S\subseteq X$ è un sottoinsieme con la topologia "$A\subseteq S$ è aperto se e solo se esiste $B\subseteq X$ aperto tale che $A=B\cap S$") connessi di $X$ che contengono $x$. È facile vedere che le componenti connesse sono effettivamente connesse, e che se due punti stanno nella stessa componente connessa, allora sono amici. È anche facile vedere che, se le componenti connesse sono aperte, come ad esempio vale per i sottospazi di $\mathbb{R}^n$, allora punti amici stanno nella stessa componente connessa. Non sono però sicuro che questo continui a valere se le componenti connesse non sono aperte. Questa però è una questione abbastanza tecnica, quindi qua sul forum la lascerei anche perdere.

[edriv]

Per quanto riguarda la terminologia penso che intendesse semplicemente dire che "x è amico di y" è molto più carino di dire "x appartiene alla stessa componente connessa di y".