Sia data una successione $ (X_n)_{n\in\mathbb N} $ di variabili aleatorie identicamente distribuite, dove $ X_n \sim exp( 1 ) $, ovvero tutte le variabili sono distribuite come esponenziali di parametro $ 1 $. Definiamo $ S_n=\sum_{i=1}^nX_i $ e $ \displaystyle U_n = \frac{S_n - \mathbb E(S_n)}{\sqrt{\mbox{Var}(S_n)}} $.
Dimostrate che se $ f $ e' continua e limitata, allora $ \displaystyle \mathbb E(f(U_n)) = \frac{n^{n-\frac{1}{2}}e^{-n}}{(n-1)!}\int_{-\sqrt{n}}^{\infty}f(z)\psi_n(z)e^{-\frac{z^2}{2}}\,\mathrm d z $
dove $ \psi_n $ e' una funzione limitata sui compatti di $ \mathbb R $ e $ \lim_{n\to\infty}\psi_n(z)=1 $.
