Problema di serie e serie di problemi

[<enigma>]

[SPOSTATO: non mi piacciono questi problemi in algebra - né sono sicurissimo che abbia una soluzione elementare, quindi fila dritto in MNE. ma_go]

Esiste una successione $ \{ a_i \} _{i \in \mathbb N^\ast} $, $ a_i \in \mathbb R^+ \cup \{ 0 \} \forall i \in \mathbb N^\ast $, tale che $ \displaystyle \sum _{n \in \mathbb N^\ast} a_n ^2<\infty $ e $ \displaystyle \sum _{n \in \mathbb N^\ast} \left ( \sum _{k \in \mathbb N^\ast} \frac {a_{k n}} k \right ) ^2 =\infty $?
[Miklós Schweitzer Competition 2010]

[paga92aren]

Credo di aver frainteso il testo:
detto $x=\sum_{k \in \mathbb{N}} \frac{1}{k}$ e $l=\sum a_n^2$ vale che:
$$\sum (\sum \frac{a_n}{k})^2=\sum a_n^2(\sum \frac{1}{k})^2=\sum a_n^2 x^2= x^2\sum a_n^2=lx^2$$
che se $l\not=0$ è infinito (la serie $\frac{1}{k}$ diverge).
Così sembra che quell'espressione vale per quasi tutte le serie che convergono.

[<enigma>]

Credo di aver frainteso il testo:
detto $x=\sum_{k \in \mathbb{N}} \frac{1}{k}$ e $l=\sum a_n^2$ vale che:
$$\sum (\sum \frac{a_n}{k})^2=\sum a_n^2(\sum \frac{1}{k})^2=\sum a_n^2 x^2= x^2\sum a_n^2=lx^2$$
che se $l\not=0$ è infinito (la serie $\frac{1}{k}$ diverge).
Così sembra che quell'espressione vale per quasi tutte le serie che convergono.

Attento che è $ \displaystyle \sum _{n \in \mathbb N^\ast} \left ( \sum _{k \in \mathbb N^\ast} \frac {a_{k n}} k \right ) ^2 $ e non $ \displaystyle \sum _{n \in \mathbb N^\ast} \left ( \sum _{k \in \mathbb N^\ast} \frac {a_{n}} k \right ) ^2 $, altrimenti certo che è banale.

[paga92aren]

non avevo visto la k al pedice....

[paga92aren]

Ho un'idea ma non so come dimostrarla (e se funziona):
$a_n=\left(1-\frac{\phi (n)}{n}\right)^h$
Dove $h=\inf (X)+\epsilon$ e $X=\{ x| \exists M t.c. \sum_{n=1}^{\infty} \left( 1-\frac{\phi(n)}{n}\right)^{2x}<M\}$ sempre che esista un $x$ che soddisfa la relazione (ad occhio esiste)

Il problema è che non so/non mi viene un'idea di come svolgere i conti.

[paga92aren]

Nessuno ha idea se la mia successione funziona oppure no???

[ma_go]

$X=\varnothing$?
$3/2 \le 1+\phi(p)/p < 2$ per ogni $p$ primo (e ce ne sono infiniti), quindi la somma che hai scritto (nella definizione di $X$) non può convergere per nessun $x$. (sperando di non aver preso un enorme granchio).

[paga92aren]

Nessun abbaglio, avevo sbagliato a scrivere...

[ma_go]

stesso problema: per tutti gli $n$ pari, $\phi(n)\le n/2$, quindi $1/2 \le 1-\phi(n)/n \le 1$, e in quella somma hai infiniti addendi limitati dal basso da $\min\{2^{-2x},1\}$.