fragili grissini

[jim]

Ciao a tutti
Credo sia un classico, se non altro per la semplicità dell'enunciato..
In questi giorni di bulimia nervosa pre-esame stavo attaccando un pacco di ottimi grissini.. Nella mia infinita sbadataggine ne faccio cadere 2 a terra; questi si spezzano ognuno in due parti.. e mi chiedo: se ne avessi fatti cadere infiniti, a quanto tenderebbe la media delle lunghezze dei frammenti maggiori di ciascun grissino?
(i grissini sono tutti lunghi un metro, possono spezzarsi in due soli frammenti, ciascun punto di frattura è equiprobabile).

[<enigma>]

Ancora meglio: a quanto tenderebbe il rapporto delle lunghezze dei due frammenti di ciascun grissino?

[Il_Russo]

Faccio un commento pedante ed inutile alla soluzione del problema, ma spero utile ad altri scopi.

I punti di rottura del grissino sono equiprobabili: infatti la probabilità di ciascuno è 0. Dovremmo precisare meglio: la probabilità che la rottura avvenga in un certo intervallo è uguale alla lunghezza di quell'intervallo in metri.

[SkZ]

rapporto tra i 2 pezzi o tra pezzo minore e quello maggiore?

[<enigma>]

rapporto tra i 2 pezzi o tra pezzo minore e quello maggiore?

Più facile calcolarlo tra il minore e il maggiore

[EvaristeG]

Bah, visto che nessuno risponde ... sia $X$ la variabile (aleatoria) che restituisce valori in $[0,1]$ e corrisponde a dove si rompe un grissino. Dalle ipotesi (mal o ben formulate), sappiamo che $\mathbb{P}(X<t)=t$ per ogni $t\in [0,1]$ e dunque la densità di $X$ è $f(x)=1$; ora, sia $Y$ la v.a. che restituisce la lunghezza del pezzo più lungo, allora
$$Y=\left\{\begin{array}{ll}X&\textrm{ se }X>1/2\\1-X&\textrm{ se }X<1/2\end{array}\right.$$
Quindi
$$\mathbb{E}[Y]=\int_{0}^{1/2}(1-x)dx+\int_{1/2}^1xdx=2\int_{1/2}^1xdx=2(1/2-1/8)=3/4$$
D'altra parte, il rapportro tra pezzo più corto e pezzo più lungo è
$$Z=\frac{1-Y}{Y}$$
e dunque
$$\mathbb{E}[Z]=2\int_{0}^{1/2}x/(1-x)dx=2(-(1/2)-\log(1/2)=\log(4)-1$$
Torna?

[jim]

@EvaristeG: sì, viene anche a me 2ln(2)-1.
L'ho postato perchè non mi sembrava banale, ma forse l'ho sopravvalutato un po'.
Ciao!

[<enigma>]

Sì, è giusto.

[SkZ]

questo ricorda che la media del rapporto (~0.386) e' diversa dal rapporto delle medie (~0.333)