$ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

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ndp15
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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

Messaggio da ndp15 » 02 feb 2011, 19:04

amatrix92 ha scritto: Lo stesso discorso che ho fatto in x=a, dimostrando che $ f_+^' (a) \neq 0 $ posso farlo, visto che la funzione è continua, in tutti gli altri punti dell'intervallo, cioè in tutti gli $ x=a+h $ con $ h $ punto generico tale che assuma tutti i valori $ 0<h \leq (b-a) $
Ok facciamolo questo discorso ;)

Per la "soluzione" di dario2994 appena mi rimetto un po' in sesto (dopo 8 ore di matematica all'università in effetti si è un po' stanchi :roll: ) la leggo e vedo (se lo fa qualcun altro, magari anche più esperto di me, non mi offendo di certo! :P )

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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

Messaggio da SkZ » 02 feb 2011, 21:20

la citazione mi aveva ingannato.
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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

Messaggio da julio14 » 02 feb 2011, 22:36

amatrix92 ha scritto:Lo stesso discorso che ho fatto in x=a, dimostrando che $ f_+^' (a) \neq 0 $ posso farlo, visto che la funzione è continua, in tutti gli altri punti dell'intervallo, cioè in tutti gli $ x=a+h $ con $ h $ punto generico tale che assuma tutti i valori $ 0<h \leq (b-a) $
Perché dici che puoi farlo? In x=a sfrutti il fatto che la funzione è 0, x=a+h non lo sai.
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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

Messaggio da ndp15 » 03 feb 2011, 00:19

dario2994 ha scritto: Sia $c=\inf\{x\in[a,b]:\ f(x)\not=0\}$, se tale c non esiste allora vale la tesi.
Tale c esiste perchè c'è sempre sup e inf di sottoinsiemi dei reali, ma fin qui nulla di male.
dario2994 ha scritto: Per la continuità di f f(c)=0.
Già qua non mi è chiaro. Come usi la continuità? Se sciogli il dubbio poi passerò oltre.

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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

Messaggio da SkZ » 03 feb 2011, 01:05

per risolvere intrighi si puo' ridire che se f non e' costantemente 0 allora esiste un $c\geq a$ tale che f(c)=0 e $f(x)\neq 0$ in un suo intorno destro (per definizione f non e' nulla in un certo punto $\hat x>c$ ma per continuita' la funzione assume tutti i valori tra f(c)=0 e $f(\hat x)$ in $[c;\hat x]$)

a proposito di sviste, data una funzione continua definita su un aperto, non e' detto che abbia massimo (es. una retta ove "punto di massimo e minimo" non appartengono all'intervallo). Mentre ce l'ha se definita su un chiuso.
cmq mi pare aggiustabile con minimo sforzo
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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

Messaggio da dario2994 » 03 feb 2011, 17:11

Bon... per quanto riguarda f(c)=0... beh in [a,c) la funzione vale 0, quindi per continuità anche in c. (senno piglio la palla piccola a sufficienza e a sinistra non funge... )
Per quanto riguarda il fatto che non c'è massimo nel chiuso... è vero, ma quello davvero si aggiusta senza problemi, solo che non ho voglia di farlo perchè bisognerebbe ridefinire d "stringendolo"... ma vabbè, si capisce quello che tento di fare penso...
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Messaggio da SkZ » 03 feb 2011, 18:09

non c'e' sicurezza di massimo nell'aperto (funzioni continue mandano chiusi in chiusi e l'antiimmagine di un aperto e' un aperto): giornata di studio pesante? ;)

penso che basta che prendi d come il piu' piccolo tra b e il punto successivo a c ove f(x)=0 e l'intervallo chiuso [c;d]: c'e' sicuramente un massimo o un minimo, quindi il suo modulo ha sicuramente massimo. e $M>\frac1{b-c}$
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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

Messaggio da dario2994 » 03 feb 2011, 18:22

SkZ ha scritto:non c'e' sicurezza di massimo nell'aperto (funzioni continue mandano chiusi in chiusi e l'antiimmagine di un aperto e' un aperto): giornata di studio pesante? ;)

penso che basta che prendi d come il piu' piccolo tra b e il punto successivo a c ove f(x)=0 e l'intervallo chiuso [c;d]: c'e' sicuramente un massimo o un minimo, quindi il suo modulo ha sicuramente massimo. e $M>\frac1{b-c}$
Ops... sbagliato a scrivere aperto/chiuso :oops: È proprio quello che intendevo ;)
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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

Messaggio da FrancescoVeneziano » 03 feb 2011, 18:38

Per favore cerchiamo di non confondere le idee.
SkZ ha scritto:per risolvere intrighi si puo' ridire che se f non e' costantemente 0 allora esiste un $c\geq a$ tale che f(c)=0 e $f(x)\neq 0$ in un suo intorno destro
Questo è *sbagliato*, è precisamente l'errore nel primo tentativo di soluzione postato da dario2994, ed è già stato corretto da ma_go, con tanto di controesempio.
SkZ ha scritto:funzioni continue mandano chiusi in chiusi
Anche questo è *sbagliato*, ad esempio $e^{x}$ manda il chiuso $(-\infty,0]$ nell'intervallo $(0,1]$, che chiuso non è.
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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

Messaggio da SkZ » 03 feb 2011, 18:43

giusto: compatti (chiusi limitati) in compatti!
$\mathbb{R}$ e' un chiusaperto! non sempre me lo ricordo cercando un controesempio

:lol: il bello e' che avevo letto il post di ma_go e commentato: giusto perche' i punti in cui si annulla sono "densi" (in realta' non sono veramente densi, dato che non e' vero per qualunque coppia di essi, ma uno deve essere lo 0).
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