$ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

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ndp15
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$ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

Messaggio da ndp15 » 01 feb 2011, 20:17

Spero non sia troppo conosciuto e probabilmente può essere generalizzato in qualche modo, anyway:
Sia $\displaystyle f \in \mathit C^1 ([a,b]), f(a)=0$ e si supponga esista una costante $ M>0$ tale che $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$ in $ [a,b]$. Provare che $ f$ è identicamente nulla in $[a,b]$.

dario2994
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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

Messaggio da dario2994 » 01 feb 2011, 21:38

Alur... vorrei capire come si dimostra formalmente una roba del genere... a me viene da considerare $c=\inf\{x\in [a,b]\ :\ |f(x)|>0\}$ e mostrare che $f(c)=0$ e che se $c\not= b$ allora $f'(c)\not=0$ da questo deriverebbe la tesi, perchè in $c$ non valgono le ipotesi.
Ora... $f(c)=0$ è vero per la continuità di $f$, perchè prendendo il limite dal basso avrei un assurdo se non valesse 0.
Invece non sono certo che $f'(c)\not =0$ e non saprei neppure come mostrarlo...
Ultima modifica di dario2994 il 01 feb 2011, 21:57, modificato 1 volta in totale.
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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

Messaggio da edriv » 01 feb 2011, 21:48

Ma c non era tale che $|f(c)| > 0$? Perchè vuoi dimostrare adesso che $f(c)=0$?

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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

Messaggio da dario2994 » 01 feb 2011, 21:56

Uhm... ma il minimo di un insieme potrebbe non farne parte...
Dato che lo scrivi tu, qualcosa non mi quadra :roll: ... forse ho sbagliato a scrivere min? la notazione è un'altra?
Insomma $min\{x\in R:\ x>0\}$ è proprio 0...

EDIT: OPSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS quel min sarebbe un inf... ecco il problema 8)
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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

Messaggio da edriv » 01 feb 2011, 22:35

Ok, per quanto riguarda $f'(c)=0$, consiglio di considerare $x^2$.

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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

Messaggio da dario2994 » 01 feb 2011, 22:37

edriv ha scritto:Ok, per quanto riguarda $f'(c)=0$, consiglio di considerare $x^2$.
Yep, c'avevo pensato nel frattempo... peccato, tentativo banale fallito :?
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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

Messaggio da amatrix92 » 02 feb 2011, 00:02

Bo, nella speranza di non scrivere assurdità ci provo:

Considero l'intorno destro di $ a $, $ \displaystyle \lim_{x\to a^+} f(x) = 0 $

Faccio ora 2 casi:

Caso 1) $ f_+^' (a) \neq 0 $

In questo caso non varrebbe mai $ |f'(x)|\leq M|f(x)| $. quindi deve essere per forza il caso 2.

Caso 2) $ f_+^' (a) = 0 $, faccio ora lo stesso discorso per il punto successiva e così via per tutti i punti fino a $ b $. ma a questo punto se la funzione è continua e derivabile e se $ f'(x) = 0 \ \ \forall x $ appartenenti a $ [a,b] $ allora $ f(x) = k $ (la dimostrazione di questo fatto è facile e ovvia) ma essendo $ f(a)=0 $ allora $ f(x)= 0\ \ \forall x $
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

Messaggio da EvaristeG » 02 feb 2011, 11:48

@amatrix:
nel caso 1. perché non varrebbe MAI? mi vien da dire che non vale in x=a
nel caso 2. cos'è il "punto successivo"?

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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

Messaggio da dario2994 » 02 feb 2011, 13:51

Bueno, aggiustato la dimostrazione...
Sia $c=\inf\{x\in[a,b]:\ f(x)\not=0\}$, se tale c non esiste allora vale la tesi.
Per la continuità di f $f(c)=0$.
Esiste $d>c$ tale che $\forall x\in (d,c):\ f(x)\not=0$ (altrimenti $c$ non sarebbe inf). In particolare esiste un tale $d<\frac{1}{M}$... lo chiamo e.
Per la continuità di f nell'aperto $(c,e)$ la funzione è limitata, quindi anche il suo modulo lo è. Considero il massimo del suo modulo, che ad esempio è in $y\in (c,e)$ allora esiste un $x\in (c,y)$ tale che $|f'(x)|\ge |\frac{f(y)-f(c)}{y-c}|$ ora trasformo l'RHS e applico l'ipotesi su LHS ottenendo: $M|f(x)|\ge |\frac{f(y)}{y-c}|> |M\cdot f(y)|$ da cui $|f(x)|>|f(y)|$ che è assurdo perchè y era il massimo...
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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

Messaggio da ma_go » 02 feb 2011, 16:21

dario2994 ha scritto:Esiste $d>c$ tale che $\forall x\in (d,c):\ f(x)\not=0$ (altrimenti $c$ non sarebbe inf).
beep. così come è scritto, questo è falso.
Testo nascosto:
prendi $g(x)=x^2\sin(1/x)$ per $x>0$ e poi prolungala (con continuità, ma poi la funzione risulta anche $C^1$, se non erro. in ogni caso, aumentando l'esponente alla $x$ dovresti guadagnare differenziabilità) a $0$.
$\inf\{x\mid g(x)\neq 0\} = 0$, ma esistono $x$ arbitrariamente vicini a $0$ per cui $g(x)=0$.

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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

Messaggio da dario2994 » 02 feb 2011, 16:47

Uff... ciò fa fallire tutto :?
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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

Messaggio da dario2994 » 02 feb 2011, 16:53

Ma in effetti non usavo quella roba da nessuna parte... forse questo aggiusta...
dario2994 ha scritto: Sia $c=\inf\{x\in[a,b]:\ f(x)\not=0\}$, se tale c non esiste allora vale la tesi. Inoltre per la continuità di f $f(c)=0$
Pongo $d=c+\frac12\min\{b-c,\frac{1}{M}\}$
Per la continuità di f nell'aperto $(c,d)$ la funzione è limitata, quindi anche il suo modulo lo è. Considero il massimo del suo modulo, che ad esempio è in $y\in (c,d)$ allora esiste un $x\in (c,y)$ tale che $|f'(x)|\ge |\frac{f(y)-f(c)}{y-c}|$ ora trasformo l'RHS e applico l'ipotesi su LHS ottenendo: $M|f(x)|\ge |\frac{f(y)}{y-c}|> |M\cdot f(y)|$ da cui $|f(x)|>|f(y)|$ che è assurdo perchè y era il massimo...
Ultima modifica di dario2994 il 02 feb 2011, 18:37, modificato 1 volta in totale.
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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

Messaggio da amatrix92 » 02 feb 2011, 17:12

EvaristeG ha scritto:@amatrix:
nel caso 1. perché non varrebbe MAI? mi vien da dire che non vale in x=a


Sì certo mi sono espresso male, intendevo che in x=a non viene mai.

nel caso 2. cos'è il "punto successivo"?
Lo stesso discorso che ho fatto in x=a, dimostrando che $ f_+^' (a) \neq 0 $ posso farlo, visto che la funzione è continua, in tutti gli altri punti dell'intervallo, cioè in tutti gli $ x=a+h $ con $ h $ punto generico tale che assuma tutti i valori $ 0<h \leq (b-a) $
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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

Messaggio da SkZ » 02 feb 2011, 18:34

dario2994 ha scritto:Bueno, aggiustato la dimostrazione...
Sia $c=\inf\{x\in[a,b]:\ f(x)\not=0\}$, se tale c non esiste allora vale la tesi.
Per la continuità di f $f(c)=0$.
Esiste $d>c$ tale che $\forall x\in (d,c):\ f(x)\not=0$ (altrimenti $c$ non sarebbe inf). In particolare esiste un tale $d<\frac{1}{M}$... lo chiamo e.
Toglimi un dubbio:
abbiamo $a\leq c$ per costruzione e $c<d<\frac1M$ per ipotesi, ergo $a\leq c<d<\frac1M$ ergo $a<\frac1M$ che non mi torna
intendevi $d-c<\frac1M$?
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Re: $ |f'(x)|\leq M|f(x)|$

Messaggio da dario2994 » 02 feb 2011, 18:38

SkZ ha scritto:
dario2994 ha scritto:Bueno, aggiustato la dimostrazione...
Sia $c=\inf\{x\in[a,b]:\ f(x)\not=0\}$, se tale c non esiste allora vale la tesi.
Per la continuità di f $f(c)=0$.
Esiste $d>c$ tale che $\forall x\in (d,c):\ f(x)\not=0$ (altrimenti $c$ non sarebbe inf). In particolare esiste un tale $d<\frac{1}{M}$... lo chiamo e.
Toglimi un dubbio:
abbiamo $a\leq c$ per costruzione e $c<d<\frac1M$ per ipotesi, ergo $a\leq c<d<\frac1M$ ergo $a<\frac1M$ che non mi torna
intendevi $d-c<\frac1M$?
Leggi la nuova, quella che ho piazzato qualche messaggio fa in citazione (senza motivo logico poi...) li ho corretto ;)
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