OliForum Matematico

Io e Jonnhy si sta al mare e si gioca a chi lancia un sasso più vicino ad una boa distante da noi 20m... tutti e 2 conosciamo bene le nostre braccia e diciamo:

Io: "Il sasso che lancio con probabilità $\sin\left(\frac{x\pi}{40}\right)$ andrà a cadere a meno di x metri dalla boa (x un qualsiasi reale positivo<20)"
Jonnhy: "Il sasso che lancio io invece con probabilità $\frac{x}{20}$ andrà a cadere a meno di x metri dalla boa (x un qualsiasi reale positivo<20)"

Alchè io propongo a jonnhy "Se il mio sasso va più vicino alla boa mi dai 10 euro, altrimenti io te ne do 20"... a Jonnhy conviene accettare la scommessa?

p.s. vietatissimo a chi capisce come farlo in meno di 5 minuti... penso che sia standardissimo per chi conosce un po' di teoria
p.p.s. è ammesso l'uso di qualsiasi strumento di calcolo
p.p.p.s. è probabile che la mia soluzione sia segata
p.p.p.p.s. non so se è meglio qui o in combinatoria...

Mi puzza di integrale....ma non li so usare lol

paga92aren ha scritto:Mi puzza di integrale....ma non li so usare lol

Meglio, allora acquisti il diritto di postare una soluzione

allora, premettendo che non sono capace per niente di fare problemi di combinatoria, questo ho dei dubbi perchè mi sembra troppo facile (sicuramente sbaglio)

allora vediamo come varia la prima probabilità al variare di x. x può assumere valori compresi tra 0 e 20.
$ \sin{(\frac{x\pi}{40})} $ se x=0, allora sin(0)=0
se x=20, allora diventa$ \sin{(\frac{\pi}{2})} $e quindi diventa 1

tutte le probabilità quindi seguiranno l'andamento del seno. per comodità mi immagino di rappresentarlo.

l'altro sarà sempre anche lui se x=0 diventa 0, mentre se x=20 diventa 1.

adesso rappresento anche questa, vedo che le probabilità di vittoria di "io" sono sempre maggiori eccetto per i punti x=0 e x=20. di conseguenza ha più possibilità "io" di vincere.

quindi resta da vedere se a jonnhy convenga, per convenire a jonnhi la sua probabilità deve essere maggiore di 1/2 la probabilità di "io" (questo è quelo di cui non sono sicuro)

quindi pongo $ \frac{x}{20}>\frac{1}{2}\sin{(\frac{x\pi}{40})} $
facilmente noto come sia maggiore $ \frac{x}{20} $, con x>0, quindi a jhonny conviene accettare la scommessa.

il mio dubbio è che non so se sia giusto il punto in cui ho detto che non ero sicuro, perchè la probabilità di "io" di vincere è sempre maggiore, però di poco, quindi siccome la posta è il doppio, a johnny conviene, è questo il punto di cui non sono certo. oltretutto le probabilità che ho definito mi paiono strane. boh. vediamo

date qualche commento al mio operato, devo capire dove sbaglio, di combinatoria sono veramente scarso, devo studiarla un po'.

staffo ha scritto:allora, premettendo che non sono capace per niente di fare problemi di combinatoria, questo ho dei dubbi perchè mi sembra troppo facile (sicuramente sbaglio)

allora vediamo come varia la prima probabilità al variare di x. x può assumere valori compresi tra 0 e 20.
$ \sin{(\frac{x\pi}{40})} $ se x=0, allora sin(0)=0
se x=20, allora diventa$ \sin{(\frac{\pi}{2})} $e quindi diventa 1

tutte le probabilità quindi seguiranno l'andamento del seno. per comodità mi immagino di rappresentarlo.

l'altro sarà sempre anche lui se x=0 diventa 0, mentre se x=20 diventa 1.

adesso rappresento anche questa, vedo che le probabilità di vittoria di "io" sono sempre maggiori eccetto per i punti x=0 e x=20. di conseguenza ha più possibilità "io" di vincere.

quindi resta da vedere se a jonnhy convenga, per convenire a jonnhi la sua probabilità deve essere maggiore di 1/2 la probabilità di "io" (questo è quelo di cui non sono sicuro)

quindi pongo $ \frac{x}{20}>\frac{1}{2}\sin{(\frac{x\pi}{40})} $
facilmente noto come sia maggiore $ \frac{x}{20} $, con x>0, quindi a jhonny conviene accettare la scommessa.

Fino a qui tutto giusto, ma in effetti non sono particolaremente convinto che questo implichi davvero la tesi... se pensi che così sia dimostralo

Tu hai detto che la P(io)>P(Jonnhy) (anche se di poco) e quindi concludi che 1/2 P(io)<P(Jonnhy) ma non è sempre vero....

qual'è l'integrale di y=sen x nell'intervallo (0,1) ?

paga92aren ha scritto:Mi puzza di integrale....ma non li so usare lol

Allora non sono il solo ad aver avuto questa impressione... Comunque, se servono davvero gli integrali, non occorre nemmeno scomodarli, se ho intuito qual è il processo...

paga92aren ha scritto:qual'è l'integrale di y=sen x nell'intervallo (0,1) ?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... %28x%29+dx

Allora non sono il solo ad aver avuto questa impressione... Comunque, se servono davvero gli integrali, non occorre nemmeno scomodarli, se ho intuito qual è il processo...

Che ci fossero di mezzo integrali era palese (anche solo per il posto dove si trova il thread)

grazie ma ho sbagliato a scrivere...era (0,$\pi$/2)

paga92aren ha scritto:grazie ma ho sbagliato a scrivere...era (0,$\pi$/2)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... %28x%29+dx

beh, invece a me viene p(johnny)> 1/2 p(io) per ogni x. perchè non dovrebbe?

EDIT: avevo invertito a scrivere =)

Allora rappresento le due funzioni sul piano (y=$\pi$/2 x e y=sen x). La probabilità è proporzionale all'area sottesa, quindi integro le due funzioni nell'intervallo (0,pi/2): P(Jonnhy)=$\pi$/4 e P(io)= 1.
Poiché P(io)/2<P(jonnhy) gli conviene giocare.

beh, ma in un certo senso l'avevo dimostrato pure io, dicendo che per ogni x la probabilità di johnny era maggiore della metà della probabilità di "io", quindi non capisco dove stava l'obbiezione

Ehi, frena. Da dove spunta y = π/2? Le due funzioni non sono quelle nella traccia? Che è come se fossero f(x) = sin x da 0 a π/2 e g(x) = x da 0 ad 1. L'integrale di f(x) e 2g(x) sono identici (pari ad 1), quindi il gioco è in pari. Sbaglio?