Limite semplice...dubbio.

[LukasEta]

Trovare il valore del seguente limite:
Lim [sen(x)+cos(x)]^(1/x)
x->0

Chiaramente è risolvibile con serie di Taylor , ma avrei bisogno di una soluzione "algebrica" che faccia riferimento solo ai limiti notevoli :
- Lim sen(x)/x = 1
x->0

- Lim (1+1/x)^x = e
x->infinito


Facilmente si arriva a riscrivere il limite come

Lim [1+sen(2x)]^(1/2x)
x->0

Ma non so se può essere utile ....
PS: scusate ma ancora il Latex devo impararlo

[SkZ]

1) impara il $\LaTeX$
2) $$f(x)^{g(x)}=\exp\left[g(x)\ln{f(x)}\right]$$

[paga92aren]

proseguo da dove sei arrivato:
$\lim_{x\rightarrow0}{(1+\frac{sen2x}{2x}2x)^{\frac{1}{2x}}}=\lim{(1+2x)^{\frac{1}{2x}}}=e$

Per l'ultimo passaggio puoi usare anche un cambio di variabile $y=\frac{1}{2x}$ con $y\rightarrow+\infty$

[LukasEta]

proseguo da dove sei arrivato:
$\lim_{x\rightarrow0}{(1+\frac{sen2x}{2x}2x)^{\frac{1}{2x}}}=\lim{(1+2x)^{\frac{1}{2x}}}=e$

Per l'ultimo passaggio puoi usare anche un cambio di variabile $y=\frac{1}{2x}$ con $y\rightarrow+\infty$

Grazie mille!

[fph]

$\lim_{x\rightarrow0}{(1+\frac{sen2x}{2x}2x)^{\frac{1}{2x}}}=\lim{(1+2x)^{\frac{1}{2x}}}$

Questa uguaglianza come la giustifichi?

[amatrix92]

vabè quell'ugualglianza è perchè $ \frac{sen2x}{2x}=\frac{2senxcosx}{2x} $, semplifico il due, $ \frac{senx}{x} $ è un limite notevole e a 0 vale 1, il coseno a 0 vale 1. sostituisco 1 e ottengo il termine a destra.

[LukasEta]

proseguo da dove sei arrivato:
$\lim_{x\rightarrow0}{(1+\frac{sen2x}{2x}2x)^{\frac{1}{2x}}}=\lim{(1+2x)^{\frac{1}{2x}}}=e$

Per l'ultimo passaggio puoi usare anche un cambio di variabile $y=\frac{1}{2x}$ con $y\rightarrow+\infty$

A quello ci avevo pensato anch'io, però non credevo si potesse utilizzare il fatto che x tende a 0 soltanto "a metà": se utilizzo il limite notevole , dicendo che \frac{sen2x}{2x} tende a 1, allora dovrò anche sostituire 0 alla X in tutti gli altri punti in cui compare! E torno quindi al punto di partenza... Oppure no?

[fph]

vabè quell'ugualglianza è perchè $ \frac{sen2x}{2x}=\frac{2senxcosx}{2x} $, semplifico il due, $ \frac{senx}{x} $ è un limite notevole e a 0 vale 1, il coseno a 0 vale 1. sostituisco 1 e ottengo il termine a destra.

Quindi $$\lim_{x\to 0} \frac{x^2}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{0}{x},$$ visto che $\lim_{x\to 0} x^2=0$ e posso "sostituire"?

[amatrix92]

vabè quell'ugualglianza è perchè $ \frac{sen2x}{2x}=\frac{2senxcosx}{2x} $, semplifico il due, $ \frac{senx}{x} $ è un limite notevole e a 0 vale 1, il coseno a 0 vale 1. sostituisco 1 e ottengo il termine a destra.

Quindi $$\lim_{x\to 0} \frac{x^2}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{0}{x},$$ visto che $\lim_{x\to 0} x^2=0$ e posso "sostituire"?

mmm solo se è diverso da 0?

[SkZ]

facciamo i compiti degli altri (se non fosse un compito Hopital su quanto suggerito da me e via in 2s)
partiamo da quanto detto da me
$$\lim_{x\to0}\exp\left[\frac{\ln{(\sin{x}+\cos{x})}}{x}\right]$$
essendo l'esponenziale continua, etc posso portare dentro il limite e opero il barbatrucco
$$\lim_{x\to0}\frac{\ln{[1+(\sin{x}+\cos{x}-1)}]}{x}$$

ora e' facile, fate voi

modo classico per finire il vostro e'

$$[1+f(x)]^{g(x)}=[1+f(x)]^{\frac{1}{f(x)}[f(x)g(x)]}$$

[amatrix92]

vabè quell'ugualglianza è perchè $ \frac{sen2x}{2x}=\frac{2senxcosx}{2x} $, semplifico il due, $ \frac{senx}{x} $ è un limite notevole e a 0 vale 1, il coseno a 0 vale 1. sostituisco 1 e ottengo il termine a destra.

Quindi $$\lim_{x\to 0} \frac{x^2}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{0}{x},$$ visto che $\lim_{x\to 0} x^2=0$ e posso "sostituire"?

Ok aspetta un attimo, mi sa che a quest punto ho delle nozioni sbagliate. Io a questa domanda rispoderei sì puoi, cioè che mi è stato insegnato è che si può sempre svolegere il limiti "a pezzi", ma questo non sempre è conveniente per esempio nel esempio che hai fatto tu viene una forma di indeterminazione 0/0, che svolgendolo in maniera "normale" non viene.
Però dalla tua risposta ipotizzo che quello che ho scritto è falso.

[fph]

Innanzitutto per la legge del contrappasso ho sbagliato il controesempio -- uno che funziona è
$$\infty=\lim_{x\to 0} \frac{x^2}{x^3}\neq\lim_{x\to 0} \frac{0}{x^3}=0,$$ visto che $\lim_{x\to 0} x^2=0$.

Quindi come puoi vedere questa cosa del sostituire non funziona sempre. Non credo che basti neanche imporre che l'espressione sostituita non faccia 0 (esempio: in $\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2}$ non puoi rimpiazzare $\cos x$ con 1). Per andare sul sicuro cerca di ricondurti a un teorema noto (de l'Hopital, limiti di somma/prodotto, limiti di funzioni continue), oppure se vuoi fare qualcosa di simile alle sostituzioni usa la notazione di Landau ("o piccoli" e "o grandi"), che ti aiuta a renderti conto di cosa funziona e cosa no.

[ndp15]

usa la notazione di Landau ("o piccoli" e "o grandi"), che ti aiuta a renderti conto di cosa funziona e cosa no.

Ma qualcuno fa queste cose al liceo? Io le sto facendo ora (per le successioni) in università, e non credo sia consigliabile per un alunno di 5° superiore vedersi queste cose da solo.

[fph]

usa la notazione di Landau ("o piccoli" e "o grandi"), che ti aiuta a renderti conto di cosa funziona e cosa no.

Ma qualcuno fa queste cose al liceo? Io le sto facendo ora (per le successioni) in università, e non credo sia consigliabile per un alunno di 5° superiore vedersi queste cose da solo.

Hmm, no, temo non si facciano. Le ho consigliate perché pensavo fosse un universitario, non stavo pensando che al liceo si fanno i limiti ma non questa notazione. In ogni caso temo che sostituzioni come queste non si possano aggiustare se non a colpi di o piccoli...

[LukasEta]

Sisi queste cose al liceo si fanno... e tieni conto che io frequento un Liceo Classico ! xD In effetti sono concetti piuttosto complessi che è facile traviare...ma mi sto impegnando