Limite semplice...dubbio.

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ndp15
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Re: Limite semplice...dubbio.

Messaggio da ndp15 » 20 nov 2010, 10:32

LukasEta ha scritto:Sisi queste cose al liceo si fanno... e tieni conto che io frequento un Liceo Classico ! xD In effetti sono concetti piuttosto complessi che è facile traviare...ma mi sto impegnando ;)
Strano! (e dico strano perchè noi non li abbiamo nemmeno nominati allo scientifico..)
Cosa fai di preciso? (traduzione: hai visto tutto quello presente qua: http://it.wikipedia.org/wiki/Stima_asintotica ?)

amatrix92
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Re: Limite semplice...dubbio.

Messaggio da amatrix92 » 20 nov 2010, 15:28

fph ha scritto:Innanzitutto per la legge del contrappasso ho sbagliato il controesempio -- uno che funziona è
$$\infty=\lim_{x\to 0} \frac{x^2}{x^3}\neq\lim_{x\to 0} \frac{0}{x^3}=0,$$ visto che $\lim_{x\to 0} x^2=0$.

Quindi come puoi vedere questa cosa del sostituire non funziona sempre. Non credo che basti neanche imporre che l'espressione sostituita non faccia 0 (esempio: in $\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2}$ non puoi rimpiazzare $\cos x$ con 1). Per andare sul sicuro cerca di ricondurti a un teorema noto (de l'Hopital, limiti di somma/prodotto, limiti di funzioni continue), oppure se vuoi fare qualcosa di simile alle sostituzioni usa la notazione di Landau ("o piccoli" e "o grandi"), che ti aiuta a renderti conto di cosa funziona e cosa no.
Non vorrei sembrare presuntuoso e ti assicuro che non lo sono, piuttosto mi definirei confuso.
La notazione di Landau che conosco solo a lievllo nozionistico ma non ho mai applicato non dubito che sia più chiara.
Per quanto riguarda l'esempio "che funziona", per me non funziona xD mi spiego meglio tu scrivi $ \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{x^3}=\infty $ e fino a qui ci siamo. Poi scrivi che $ \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{x^3}\neq\lim_{x\to 0} \frac{0}{x^3} $ , il che è vero; infatti $ \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{x^3}=\lim_{x\to 0} \frac{0^+}{x^3} $ per quanto sia brutto da scrivere. A questo punto ovviamente non è vero che $ \lim_{x\to 0} \frac{0^+}{x^3}=0 $ in quanto è uguale a $ \frac{0^+}{0^+} $ che è una forma di indeterminazione e che quindi potrebbe tranquillamente essere uguale a $ +\infty $.
Era l'esempio sbagliato o forse queste sostituzioni sono lecite?
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

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Re: Limite semplice...dubbio.

Messaggio da fph » 20 nov 2010, 18:59

amatrix92 ha scritto:Non vorrei sembrare presuntuoso e ti assicuro che non lo sono, piuttosto mi definirei confuso.
Tranquillo, nessun problema :)
amatrix92 ha scritto:$ \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{x^3}=\lim_{x\to 0} \frac{0^+}{x^3} $ per quanto sia brutto da scrivere. A questo punto ovviamente non è vero che $ \lim_{x\to 0} \frac{0^+}{x^3}=0 $ in quanto è uguale a $ \frac{0^+}{0^+} $ che è una forma di indeterminazione e che quindi potrebbe tranquillamente essere uguale a $ +\infty $.
Era l'esempio sbagliato o forse queste sostituzioni sono lecite?
Ok, allora il punto è che abbiamo un'idea diversa di cosa vuol dire "sostituire". Per me significa sostituire il limite, in questo caso 0, e allora viene $ \frac{0}{x^3} $, che fa 0 per tutti gli $x\neq 0$, e quindi $\lim_{x\to 0} 0 =0$. Per te invece "sostituire" significa scrivere un simbolo $0^+$ che indica "qualcosa che converge a zero" (tralasciamo il problema di convergere da destra o da sinistra che non è importante in questo caso). Non è una sostituzione algebrica, è qualcosa di diverso che andrebbe definito per bene (cosa che immagino non abbiate fatto a scuola). Si riesce a definire bene? Sì, perché è una piccola parte della notazione di Landau: il tuo $0^+$ è quello che con gli o piccoli si chiama $o(1)$. Però a questo punto con la tua notazione non mi è chiaro che
$$
\lim (1+1^{+}\cdot2x)^{\frac1{2x}}=e,
$$
perché quello non è un semplice uno ma un simbolo che rappresenta una funzione che ha un certo limite. Nota per esempio che in
$$
\lim (\frac{e^x-1}{x}+2x)^{\frac1{2x}}
$$
non puoi scrivere 1 al posto di $\frac{e^x-1}{x}$, quindi il punto è delicato.
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Re: Limite semplice...dubbio.

Messaggio da SkZ » 20 nov 2010, 22:10

alla fine e' lo stesso problema con gli sviluppi: quando li usi devi essere certo di fermarti allo stesso grado per tutti, ovvero gli o piccoli trascurati siano omogenei tra loro
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

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Re: Limite semplice...dubbio.

Messaggio da paga92aren » 22 nov 2010, 20:33

fph ha scritto: $$
\lim (\frac{e^x-1}{x}+2x)^{\frac1{2x}}
$$
non puoi scrivere 1 al posto di $\frac{e^x-1}{x}$, quindi il punto è delicato.
tu come lo risolveresti questo limite? dovrebbe essere maggiore di $e^{\frac{5}{8}}$ ma non so come trattarlo....

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Re: Limite semplice...dubbio.

Messaggio da fph » 22 nov 2010, 23:47

paga92aren ha scritto:
fph ha scritto: $$
\lim (\frac{e^x-1}{x}+2x)^{\frac1{2x}}
$$
non puoi scrivere 1 al posto di $\frac{e^x-1}{x}$, quindi il punto è delicato.
tu come lo risolveresti questo limite? dovrebbe essere maggiore di $e^{\frac{5}{8}}$ ma non so come trattarlo....
Con Taylor e o piccoli è facile. Senza, usa la tecnica che suggeriva Skz per l'altro limite: estrai il logaritmo, poi usi De l'Hopital. Dovrebbe fare $e^{5/4}$.
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