a sto punto, ricordiamo una cosa simpatica.
consideriamo l'equazione differenziale omogenea di secondo grado (con le sue condizioni al contorno del caso qui omesse)
$ $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}-2b\frac{\partial f}{\partial x}+cf=0 $
(lo so: e' scritta in modo strano, ma e' per semplicita' dei conti e cmq si puo' sempre portare in quella forma)
e l'operatore derivata $ $D=\frac{\partial}{\partial x} $
data la linerita' della derivata, possiamo riscrivere
$ $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}-2b\frac{\partial f}{\partial x}+cf=(D-\alpha_1)(D-\alpha_2)f=0 $
dove $ ~\alpha_{1,2} $ sono guarda caso le soluzioni dell'equazione di secondo grado $ ~x^2-2bx+c=0 $ ovvero $ $b\pm\sqrt{b^2-c} $
Ora posto $ ~g=(D-\alpha_2)f $ la nostra equazione diventa
$ ~(D-\alpha_1)g=0 $ ovvero $ ~g'=\alpha_1g $ che ha banalmente come soluzione $ $g=k'_1 \exp{(\alpha_1 x)} $ (paramentro dipendente dalle condizioni al contorno)
Rimane l'equazione differenziale non omogenea $ ~(D-\alpha_2)f=k'_1 \exp{(\alpha_1 x)} $, ergo la sua soluzione f e' definita a meno di un multiplo della soluzione della corrispondente equazione omogenea $ ~k_2\exp{(\alpha_2 x)} $
Ora invece di fare conti riconsideriamo invertendo i pedici e si vede che f e' pure definita a meno di un multiplo della prima equazione omogenea $ ~k_1\exp{(\alpha_1 x)} $, quindi la soluzione deve essere del tipo
$ $f=k_1 \exp{(\alpha_1 x)} +k_2 \exp{(\alpha_2 x)} $ e i paramentri si fissano con le condizioni al contorno
Oppure si puo' sfruttare il teorema che avevo citato prima che ci rassicura che localmente se una soluzione esiste questa e' anche l'unica. Questo vuol dire che se suppongo che la soluzione abbia una certa forma, allora posso provare a sostituirla e aggiustare i parametri. Se in effetti e' soluzione, so per certo che non ho trovato una soluzione, ma La soluzione (e qui i Fisici ringraziano caldamente per il teorema
).
In questo caso suppongo che f sia un'esponenziale tipo$ ~f=ke^{\alpha x} $, ergo
$ ~\alpha^2f-2b\alpha f+cf=f(\alpha^2-2b\alpha+c)=0 $
da cui $ ~\alpha $ deve essere soluzione dell'equazione di secondo grado (a meno che f=0 non sia proprio la soluzione cercata
)
se $ ~\alpha $ puo' avere 2 valori allora f sara' la somma delle 2 soluzioni possibili con i 2 parametri da raccordare con le condizioni al contorno.
sta volta non mi pare di aver scritto frescate