Due gruppi con molte cose in comune ma non troppe...

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
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edriv
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Due gruppi con molte cose in comune ma non troppe...

Messaggio da edriv » 05 giu 2010, 18:23

La questione è se esistano due gruppi A,B tali che:
- esiste un morfismo iniettivo A->B
- esiste un morfismo suriettivo A->B
- esiste un morfismo iniettivo B->A
- esiste un morfismo suriettivo B->A

... ma che non sono isomorfi!

Carlein
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Messaggio da Carlein » 05 giu 2010, 19:55

Caspita!! Veramente bello:itempo fa mi chiesi quanto si generalizzava ai gruppi il fatto delle cardinalità.Solo che me lo misi nella forma di morf suriettivo da 1 a 2, esiste anche un iniettivo, ne esiste anche uno biunivoco? all'epoca lasciai stare dopo qualche tentativo pensando che gli esempi sarebbero stati atroci,oggi ci ho provato e forse ci sono riuscito :D(in teoria in relazione al mio vecchio dubbio uno potrebbe chiedersi se esiste un caso in cui c'è n'è uno sur. dal primo al secondo uno iniettivo; e chiedersi cosa ci si può aspettare dal secondo al primo e varianti simili; ma il cuore della mia vecchia domanda direi che in relatà sta nella tua richiesta,cioè se torna mi metto il cuore in pace rispetto a questo scenario di orrori XD)
Consideriamo $ A_1=\sum_{i=1}^{+\infty}(\mathbb{Z}_{2^i}) $, poi $ A_2=\sum_{i=2}^{+\infty}(\mathbb{Z}_{2^i}) $ dove si intende la somma diretta(ossia le numerabuple con numero finito di entrate nonnulle). Le applicazioni si costruiscono molto facilmente(dopo quando ripulisco i fatti di giù le scrivo,ma essenzialmente è che si trovano copie incastrate una dentro l'altre del primo e del secondo alternandosi)). Quello che tocca trovare è una proprietà che li distingue, quella che ho trovato che viene dritta dal motivo intuitivo per cui quei due gruppi ci paiono diversi, è il fatto che il primo ha una famiglia di generatori indipendenti(ossia se esiste comb lineare nulla ciascuno dei coefficienti è multiplo dell'ordine) in cui compare un elemento di ordine 2.Invece penso si possa far vedere che ciò non può accadere al secondo,ed essendo questa proprietà invariante per isomorf.si dovrebbe aver concluso. Per assurdo,facendo generare ai nuovi i vecchi canonici generatori corrispondenti alle posizioni del generatore di ordine 2; da qui facendo delle considerazioni di ordine nelle posizioni relative ai generatori canonic(che ahnno tutti ordine più grande di 2) si trova una combinazione non banale nulla. E' molto palloso il procedimento e io neanche me lo sono detto pulitissimo in testa, però se a qualcuno non è per nulla chiaro che intendo me lo dica perchè lo scrivo(magari meglio di su :) )
Ora @edriv: hai una soluzione un pò più pulita?Per caso ti torna questa?
Ciaociao!
p.s. a rileggere è in ogni caso troppo indecente l'ultima spiegazione prometto che per stasera la riscrivo( a meno che qualcuno non trovi che è tutto sballato e quei due in relatà sono isomorfi).
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edriv
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Messaggio da edriv » 05 giu 2010, 20:48

Ok, bene, il mio esempio era simile!
Io prendevo
$ \displaystyle \sum_{i\in\mathbb{Z}\ \mathrm{pari}} \mathbb Z_{2^i} $
$ \displaystyle \sum_{i\in\mathbb{Z}\ \mathrm{dispari}} \mathbb Z_{2^i} $

Per dimostrare che non sono isomorfi invece c'è una proprietà decisamente più semplice:
- esiste un elemento di ordine 2 che non è il quadrato di un altro elemento?

È anche da notare la struttura logica di questa proprietà: è una congiunzione logica di due proposizioni di cui una inizia con "non" e l'altra no. Ho l'impressione che fosse necessario qualcosa del genere, magari qualche logico potrebbe spiegare meglio.

ciao!

Carlein
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Messaggio da Carlein » 06 giu 2010, 23:37

Uhm si è decisamente più elegante, però c'è un punto che non mi torna tanto. Mi pare che tu abbia dimostrato che quei due non sono isomorfi come anelli, il che però non basta(C e R ad esempio che come gruppi additivi sono isomorfi perchè sp vett della stessa dimensione su Q come dicevi tu qualche post più giù;ma chiaramente non come anelli): cioè il fatto che la proprietà che dici tu si conservi mi pare naturalmente vera se uno suppone che f conservi anche il prodotto(quello componente per componente);però in generale se si chiede solo isomorfismo di gruppi come fai a sapere che dovrà conservarsi? Cioè quello a cui sembri alludere è: nel secondo ci sta $ x $ nonnullo tale che $ x=y^2 $(dove il prodotto è quello componente per componente nei vari $ \mathbb{Z}_{blabla} $) e per cui $ 2x=0 $; ora nel primo non c'è. Io vedrei a questo punto un assurdo palese nell'isomorfismo se sapessi ad esempio che $ f(jk)=f(j)f(k) $ oltre all'additività cioè che f sia anche moltiplicativa. Altrimenti non mi sembra evidente che una tale proprietà si debba conservare pretendendo solo che f sia additiva.Se quindi mi spieghi meglio dove ti ho frainteso ti sono grato! :D
Ciao!
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Messaggio da edriv » 07 giu 2010, 00:16

No eh sono io che confondo un po' i termini... essendoci in un gruppo una sola operazione, tendo a chiamarla metà delle volte somma e metà prodotto. Quindi quadrato e doppio in realtà nella mia testa sono la stessa cosa

Carlein
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Messaggio da Carlein » 07 giu 2010, 00:56

ah okok! Pardon, è che aveva apparentemente senso anche colà, e non mi ero chiesto in effetti se intendevi proprio un altra cosa. Beh si è davvero più elegante così. :)
Ciaociao
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Messaggio da Carlein » 07 giu 2010, 02:05

Ah cmq ripensandoci meglio, le nostre due soluzioni non sono solo simili; praticamente sono la stessa. Mi è venuto in mente perchè pensavo che il fatto del quadrato era particolarmente ambiguo proprio nell aver scelto tu pari e dispari(forse volevi accontentare la parte della tua testa che reclamava il quadrato in senso moltiplicativo( :P ) perchè in quel caso lì cade a pennello )...però la tua soluzione funziona uguale anche nel mio esempio: nel primo se la prima entrata è 1 e le altre di ordine 2 si hanno elementi che non sono doppi di qualcuno ma di ordine 2; nel secondo ciò non può avvenire; ed in effetti mi sono accorto che la proprietà che dicevo nella mia prima risposta è in pratica equivalente alla tua:cioè il fatto che nella mio secondo gruppo non può esistere una famiglia di generatori con uno di ordine 2 è dovuto essenzialmente al fatto che qui uno di ordine 2 è automaticamente il doppio di qualcuno; difatti quando dicevo alla carlona(è il caso di dirlo)"facendo generare ai nuovi i vecchi generatori corrispondenti alle posizioni del generatore di ordine 2,da qui facendo delle considerazioni di ordine(che hanno TUTTI ORDINE PIù GRANDE DI 2)..." in effetti viene a significare esattamente che se ci fosse tale generatore di ordine 2 è il doppio di qualcuno,ossia la tua proprietà, (che coincide a qlla parte che ho messo in corsivo del mio discorso) scrivendo questo qualcuno rispetto agli altri ottengo la combinazione(sfruttando poi il fatto che il 2 farà scomparire eventuali termini del generatore e quindi non si assommano al generatore che sta già nella somma totale, il che mi garantisce la non banalità della combinazione) assurdo. Scrivo tutto ciò, oltre che perchè non riesco a prendere sonno e non ho di meglio da fare, perchè trovo utile chiarire quando le cose sono solo apparentemente diverse( tra cui quindi giocoforza mi rimangio il "più elegante", tu l'hai scritta estremamente bene e io estremamente male) :D
Riciao
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Messaggio da Carlein » 07 giu 2010, 09:45

Si può notare che i gruppi trovati non sono nè artiniani( http://en.wikipedia.org/wiki/Artinian_module )nè noetheriani( http://en.wikipedia.org/wiki/Noetherian_module )come Z-moduli; il che ce lo si doveva aspettare a causa di questo esercizio:
Tra le 4 condizioni date da edriv trovarne un sottoinsieme opportuno in cui si può concludere la biezione tra i due moduli nel caso siano artiniani. Trovarne poi un sottoinsieme opportuno per concludere sulla biezione nel caso siano noetheriani.

p.s: questo fatto ha anche un nome,che però non ricordo più: ad ogni modo l'ho messo in forma implicita perchè in forma esplicita è più noioso da farsi.
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Messaggio da Nonno Bassotto » 07 giu 2010, 13:57

Il nome dovrebbe essere Lemma di Fitting, o una qualche sua variante.
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Messaggio da Carlein » 07 giu 2010, 15:32

Nonno Bassotto ha scritto:Il nome dovrebbe essere Lemma di Fitting, o una qualche sua variante.
Uh si esatto è quello il nome.
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