Identità di Eulero e Serie di Taylor

[Gatto]

@Gian: Occhio al LaTeX

[gian92]

@Gian: Occhio al LaTeX

hai ragione, modificato, grazie

[Tibor Gallai]

Sì, va bene. A parte questo, che anche mia nonna trova con google?

[gian92]

Sì, va bene. A parte questo, che anche mia nonna trova con google?

in realtà ci ho messo un pò

[Tibor Gallai]

Ok.

[gian92]

Ok.

c'è un altro esempio elementare che non sia questo?

[Tibor Gallai]

Boia, ne costruisci veramente quanti ne vuoi...

[gian92]

che ce ne siano infiniti senza dubbio, per il teorema di riarrangiamento di riemann

però non riesco a trovarne altri così puliti come quello

[SkZ]

se ben ricordo, si possono sommare 2 serie se entrambe convergono e la serie somma converge alla somma dei limiti.
da cui si puo' dedurre l'opposto
vedesi
$ $\sum_{n=0}^\infty (x^n-x^{n+1}) $

[Tibor Gallai]

se ben ricordo, si possono sommare 2 serie se entrambe convergono e la serie somma converge alla somma dei limiti.

E beh sì, questo per la semantica dell'= e del +.

[SkZ]

Poi si divide quella sommatoria in due parti, delle quali una rappresenta lo sviluppo del seno (per n dispari, che quindi moltiplica i), e l'altra del coseno (per n pari). Dovrei spiegare perché si può riordinare, ma non ho idea di come si faccia. Da lì si ottiene la tesi, no?

EDIT: Una serie si può sempre riordinare quando converge? E se diverge? (Non è un problema, è una domanda. )

banalmente, dato
$ $e^z := \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} $
la teoria dice che una serie complessa converge se e solo se convergono le serie delle parti reali e delle parti immaginarie.
Ovvero posto $ ~z_n=a_n+ib_n, \; a_n,b_n\in\mathbb{R} $
$ $\sum_{n=0}^\infty z_n\;\textrm{converge}\;\Leftrightarrow \sum_{n=0}^\infty a_n \quad\sum_{n=0}^\infty b_n\;\textrm{convergono} $
Forse a complicare le cose c'e' il teorema di Riemann ( http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_series_theorem ), quindi meglio prendere la convergenza assoluta, ma il valore assoluto di un complesso non e' in generale la somma dei valori assoluti di parte reale e immaginaria. Ma nel nostro caso $ ~z_n $ ha i termini o puramente reali o puramente immaginari, quindi in tale caso $ ~|z_n|=|a_n|+|b_n| $ ($ ~a_n\neq0 \Righarrow b_n=0 $ e viceversa).

Mi chiedo quanti casini ho fatto o se ne ho fatti