Proprietà degli spazi vettoriali

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giggiotb
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Proprietà degli spazi vettoriali

Messaggio da giggiotb » 27 apr 2010, 16:28

Non so quanto possa essere un fatto noto, ma comunque credo possa risultare carino per chi non lo conosce:
Dimostrare che, in uno spazio vettoriale $ (V,+,\cdot ) $ su un campo $ K $ , la condizione di commutatività dell' operazione interna $ + $ è superflua, cioè essa può essere dimostrata utilizzando le altre proprietà che definiscono lo spazio vettoriale (ovviamente anche quelle riguardanti l'operazione esterna).
Il triangolo [tex]ABC[/tex] SEMBRA isoscele [tex]\Longrightarrow[/tex] ...

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Messaggio da giggiotb » 05 mag 2010, 21:39

Nessuno ci prova? eppure mi sembrava carino...
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julio14
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Messaggio da julio14 » 05 mag 2010, 22:14

Mmm se scrivi quali sono le proprietà che intendi dare per buone, forse è meglio. Magari qualcuno fra gli assiomi metteva proprio la commutatività togliendo qualcos'altro.
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Messaggio da giggiotb » 05 mag 2010, 22:33

Si, in effetti ci avevo pensato, ma pensavo non fosse necessario postare le proprietà, anche per non implicitamente insinuare che voi non le sappiate! :D

$ (V,+) $ è un gruppo
$ \forall \alpha \in K \forall v,w \in V \alpha (v+w)=\alpha v +\alpha w $
$ \forall \alpha , \beta \in K \forall v \in V (\alpha + \beta)v = \alpha v +\beta v $
$ \forall \alpha , \beta \in K \forall v \in V (\alpha \beta)v = \alpha (\beta v) $
$ \forall v \in V 1v=v $
(perché viene spaziato male?)
Dimostrare che l'operazione interna $ + $ è anche commutativa.
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julio14
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Messaggio da julio14 » 05 mag 2010, 23:38

$ O $ è lo zero del gruppo. Con $ $-v $ intendo l'inverso sul gruppo di $ $v $

$ 0*v=(0*(1+1))*v=0*((1+1)*v)=0*(v+v)=0*v+0*v\Rightarrow 0*v=O $

$ O=0*v=(1+(-1))*v=v+(-1)*v\Rightarrow (-1)*v=-v $

$O=0*(v+w)=(1+(-1))*(v+w)=v+w+(-1)*(v+w)=v+w+(-1)*v+(-1)*w=v+w+(-v)+(-w)\Rightarrow$
$w=v+w+(-v)\Rightarrow w+v=v+w$
Ultima modifica di julio14 il 25 dic 2010, 21:55, modificato 2 volte in totale.
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Messaggio da Tibor Gallai » 06 mag 2010, 10:40

giggiotb ha scritto:(perché viene spaziato male?)
Perché gli spazi nel sorgente LaTeX non vengono necessariamente convertiti in spazi grafici (questa è una delle cose che spiazzano un po' chi è abituato a scrivere con Word et similia). Per forzare uno spazio orizzontale esistono vari comandi, tra cui "\ " (backslash, spazio), che fa uno spazio di larghezza standard.

Esempio:
$ \forall v \in V \ 1v=v $

Questo è utile anche nel caso opposto, in cui LaTeX di default farebbe spazi troppo larghi, e tu vorresti uno spazio standard. Per esempio, è noto che LaTeX fa uno spazio più largo dopo il punto che termina una frase in modalità testo, ed a volte è ingannato dai puntini delle abbreviazioni. Scrivendo ad esempio "Dott. Pinco Pallino" viene fuori $ \mbox{Dott. Pinco Pallino} $. Lo spazio dopo "Dott." è troppo largo, perché LaTeX pensa che sia la fine di una frase, e dunque conviene scrivere "Dott.\ Pinco Pallino" per forzarlo a fare uno spazio standard: $ \mbox{Dott.\ Pinco Pallino} $.
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Messaggio da giggiotb » 06 mag 2010, 15:06

Ah, grazie! Comunque si, ho imparato da poco le cose base su LaTeX, e questa non la conoscevo. Sapevo solo che LaTeX faceva da solo certe cose, tra cui anche la spaziatura, e quindi mi sono fidato.
Giusto per, riporto la soluzione che ho trovato sul testo da cui ho preso il problema, che in pratica utilizza i due modi differenti in cui si può vedere il prodotto di una somma di scalari per una somma di vettori, anche se quella di julio14 è corretta.
$ (1+1)(v+w)=(1+1)v+(1+1)w=v+v+w+w $
$ (1+1)(v+w)=1(v+w)+1(v+w)=v+w+v+w $
Quindi:
$ v+v+w+w=v+w+v+w $ da cui, applicando la legge di cancellazione a destra e a sinistra:
$ v+w=w+v $
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Messaggio da SkZ » 06 mag 2010, 17:35

in modalita' matematica ci sono
\, \. \; \quad \qquad
in ordine di lunghezza (\quad e' lo spazio di una M)
poi hai \! che e\ lo spazio negativo, utile tra 2 \int
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

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Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 06 mag 2010, 18:06

SkZ ha scritto:\.
Questo dovrebbe essere "\:".
Ma quindi il "\ " in math mode è deprecato? Perché io l'ho sempre usato nelle formule ed ha sempre funzionato, ma forse è poco ortodosso?
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Messaggio da SkZ » 06 mag 2010, 20:14

giusto!
\, for 3/18 quad
\: for 4/18 quad
\; for 5/18 quad
The escaped space character \ generates a medium sized space comparable to the interword spacing and \quad and \qquad produce large spaces. The size of a \quad corresponds to the width of the character ‘M’ of the current font. \! produces a negative space of − 3/18 quad

"\ " e' di mezzo ;)
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