Ciao,
mi ritrovo a dovere usare molti criteri di convergenza di serie numeriche che non vengono spiegati nella maggior parte dei corsi base di analisi.
Si trovano su internet gli enunciati, ma mancano le dimostrazioni.
Qualcuno saprebbe indicarmi un libro completo sui criteri di convergenza, che abbia tutte le dimostrazioni, o almeno suggerimenti su come ricavarle?
Per esempio ora mi sono imbattuto nel criterio di Raabe http://it.wikipedia.org/wiki/Criteri_di ... o_di_Raabe , ma manca la dimostrazione della convergenza per l>1 .
Vi ringrazio!
criteri di convergenza delle serie: dimostrazioni?
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Per la convergenza ti riconduci a una serie geometrica. EDIT: non geometrica ma armonica.
Vedi anche qui: http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test
P.S. Evita wikipedia italiana.
Vedi anche qui: http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test
P.S. Evita wikipedia italiana.
Ultima modifica di Tibor Gallai il 22 apr 2010, 17:43, modificato 3 volte in totale.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]
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Santo iddio, ma perché gli italioti non la smettono di pasticciare 'sta wikipedia? Non è una pizza napoletana...it.wikipedia ha scritto:La serie
$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n $
converge se e solo se converge la serie
$ $\sum_{n=1}^{\infty} 2^n a_{2^n} $
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]
Nell'articolo completo http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_d ... _di_Cauchy hanno anche fatto lo sforzo di dire che c'è qualche ipotesi, comunque.
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Sì. In realtà avevo visto male, non usi una serie geometrica, ma la serie armonica (generalizzata) $ $\sum \frac 1 {n^\alpha} $, che converge notoriamente sse $ $\alpha>1 $.
Se il tuo limite è $ $\ell>1 $, allora esiste un $ $\alpha>1 $ tale che, per ogni $ $n $ abbastanza grande, $ $\frac{a_{n+1}}{a_n}\leqslant 1-\frac{\alpha}{n} $. Per Bernoulli (generalizzato),
$ $\frac{a_{n+1}}{a_n}\leqslant \left(1-\frac 1 n\right)^{\alpha}=\frac{(n-1)^{\alpha}}{n^{\alpha}} $.
Quindi, per un opportuno $ $k $ e per ogni $ $n\geqslant k $, vale $ $a_n \leqslant \frac{a_k (k-1)^\alpha}{(n-1)^{\alpha}} $, ed ecco la tua serie armonica.
Se il tuo limite è $ $\ell>1 $, allora esiste un $ $\alpha>1 $ tale che, per ogni $ $n $ abbastanza grande, $ $\frac{a_{n+1}}{a_n}\leqslant 1-\frac{\alpha}{n} $. Per Bernoulli (generalizzato),
$ $\frac{a_{n+1}}{a_n}\leqslant \left(1-\frac 1 n\right)^{\alpha}=\frac{(n-1)^{\alpha}}{n^{\alpha}} $.
Quindi, per un opportuno $ $k $ e per ogni $ $n\geqslant k $, vale $ $a_n \leqslant \frac{a_k (k-1)^\alpha}{(n-1)^{\alpha}} $, ed ecco la tua serie armonica.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]