criteri di convergenza delle serie: dimostrazioni?

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rargh
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criteri di convergenza delle serie: dimostrazioni?

Messaggio da rargh » 19 apr 2010, 11:28

Ciao,

mi ritrovo a dovere usare molti criteri di convergenza di serie numeriche che non vengono spiegati nella maggior parte dei corsi base di analisi.

Si trovano su internet gli enunciati, ma mancano le dimostrazioni.

Qualcuno saprebbe indicarmi un libro completo sui criteri di convergenza, che abbia tutte le dimostrazioni, o almeno suggerimenti su come ricavarle?

Per esempio ora mi sono imbattuto nel criterio di Raabe http://it.wikipedia.org/wiki/Criteri_di ... o_di_Raabe , ma manca la dimostrazione della convergenza per l>1 .

Vi ringrazio!

Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 19 apr 2010, 15:41

Per la convergenza ti riconduci a una serie geometrica. EDIT: non geometrica ma armonica.
Vedi anche qui: http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_test

P.S. Evita wikipedia italiana.
Ultima modifica di Tibor Gallai il 22 apr 2010, 17:43, modificato 3 volte in totale.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 19 apr 2010, 15:56

it.wikipedia ha scritto:La serie

$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n $

converge se e solo se converge la serie

$ $\sum_{n=1}^{\infty} 2^n a_{2^n} $
Santo iddio, ma perché gli italioti non la smettono di pasticciare 'sta wikipedia? Non è una pizza napoletana... :cry: :cry: :cry:
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Pigkappa
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Messaggio da Pigkappa » 19 apr 2010, 17:22

Nell'articolo completo http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_d ... _di_Cauchy hanno anche fatto lo sforzo di dire che c'è qualche ipotesi, comunque.

rargh
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Messaggio da rargh » 22 apr 2010, 10:33

Ok, ma non vedo la dimostrazione, me la sapreste dare al volo?

Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 22 apr 2010, 17:10

Sì. In realtà avevo visto male, non usi una serie geometrica, ma la serie armonica (generalizzata) $ $\sum \frac 1 {n^\alpha} $, che converge notoriamente sse $ $\alpha>1 $.

Se il tuo limite è $ $\ell>1 $, allora esiste un $ $\alpha>1 $ tale che, per ogni $ $n $ abbastanza grande, $ $\frac{a_{n+1}}{a_n}\leqslant 1-\frac{\alpha}{n} $. Per Bernoulli (generalizzato),

$ $\frac{a_{n+1}}{a_n}\leqslant \left(1-\frac 1 n\right)^{\alpha}=\frac{(n-1)^{\alpha}}{n^{\alpha}} $.

Quindi, per un opportuno $ $k $ e per ogni $ $n\geqslant k $, vale $ $a_n \leqslant \frac{a_k (k-1)^\alpha}{(n-1)^{\alpha}} $, ed ecco la tua serie armonica.
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rargh
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Messaggio da rargh » 23 apr 2010, 11:15

Aha, carina, bastava usare bernoulli :) Grazie mille!

Tra parentesi, si può dimostrare bernoulli per esponenti reali qualsiasi senza usare le derivate? Immagino di sì... tipo la dimostriamo per r razionale e al limite (Q denso in R, la funzione è continua in r) vale anche per gli irrazionali...

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