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Sia $ G $ un gruppo e $ H $ un suo sottogruppo, avente indice finito in $ G $. Dimostrare che esiste solo un numero finito di sottogruppi della forma $ aHa^{-1} $, dove $ a\in G $.

Mmm..visto che non mi risponde nessuno, provo a postare la mia soluzione, sperando di non scrivere stupidaggini.
Definiamo un'applicazione $ \varphi:xH \in G/R_H \longmapsto xHx^{-1} \in $ non so che cosa . L'applicazione è ben posta perché, se due laterali sinistri $ xH $ e $ yH $ coincidono, allora vuol dire che esiste $ \bar{h}\in H : x^{-1}y=\bar{h} \Longrightarrow x=y{\bar{h}}^{-1} $ , quindi sia $ xhx^{-1} \in xHx \Longrightarrow xhx^{-1}=(y{\bar{h}}^{-1})h(\bar{h}y^{-1})=y({\bar{h}}^{-1}h\bar{h})y^{-1} \in yHy^{-1} \Longrightarrow $ $ xHx^{-1}\subseteq yHy^{-1} $ . Similmente si prova che $ yHy^{-1}\subseteq xHx^{-1} $ , quindi i due insiemi sono uguali. L'applicazione è quindi ben posta ed è ovviamente suriettiva, quindi gli insiemi del tipo $ xHx^{-1} $ non sono in numero maggiore dei laterali sinistri di $ H $ in $ G $.
Non so perché, ma ho l'impressione di aver sbagliato qualcosa, di averlo sotto agli occhi e di non accorgermene..

Mi sfugge il punto di proporre un problema e risolverselo da sé poche ore dopo...

In effetti, pensandoci ora a mente fresca, hai ragione. Mi spiego, avevo risolto il problema, ma, non so perché, la soluzione mi sembrava sbagliata. Ero impaziente di sapere come stanno le cose e questo mi ha portato a postare la mia soluzione, ma ora che mi rivedo è stata un comportamento un pò stupido...però, dato che hai scritto "risolverselo", mi viene da pensare che la soluzione sia giusta..Mi scuso ancora.

Non c'è bisogno di scusarti, e sì, la soluzione è corretta.