Proprietà dei sistemi lineari sui seni (e autofunzioni)

[rargh]

Ciao,

ho studiato ingegneria e una cosa importante che ci mostrano è che i sistemi lineari tempo invarianti (in seguito ne darò una definizione) trasformano seni di una certa frequenza in seni della stessa frequenza con un cambiamento di ampiezza e di fase. Ho provato a dimostrare quest'affermazione, è venuta un po' banale, ma ho alcuni dubbi su cui vi chiedo aiuto.

Ora definiamo una trasformazione lineare senza specificarla a parte due proprietà fondamentali.

Sia l'ingresso x(t) una funzione reale del tempo (anch'essa variabile reale):

$ x: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $

Sia T una trasformazione che manda funzioni in altre funzioni con queste proprietà:

Proprietà 1 (linearità)

$ \forall \lambda , \mu \in \mathbb{R} $
$ T\left[\lambda x_{1}(t)+\mu x_{2}(t)\right]=\lambda T\left[ x_{1}(t) \right]+\mu T\left[ x_{1}(t) \right] $

Proprietà 2 (tempo invariante)

$ \forall \tau \in \mathbb{R} $
$ T \left [x(t) \right] = y(t) $
$ T \left [x(t+\tau ) \right]=y(t+ \tau ) $

Ora, prima domanda: su quale insieme di funzioni può essere definita la trasformazione T? Può essere definita su un sottoinsieme di tutte le possibili funzioni (anche quelle mai continue?)?

Veniamo alla dimostrazione della proprietà di invarianza dei seni (a parte ampiezza e fase). Non sono sicuro che sia giusta, quindi se avete critiche, commenti o suggerimenti sono benvenuti.

Sia:
$ \omega \in \mathbb{R} $
$ x(t)=sin(\omega t) $
$ y(t)=T\left[sin( \omega t) \right] $

Ora usando le formule trigonometriche di addizione del seno:

$ x(t+\tau)=sin(\omega t+\omega \tau)=sin(\omega t)cos(\omega \tau)+cos(\omega t)sin(\omega \tau) =sin(\omega t)cos(\omega \tau)+sin(\omega (t+\dfrac{\pi}{2 \omega}))sin(\omega \tau) =x(t)cos(\omega \tau)+x(t+\dfrac{\pi}{2 \omega})sin(\omega \tau) $

Usando le proprietà 1 e 2 della trasformazione otteniamo:

$ y(t+ \tau)=y(t)cos(\omega \tau)+y(t+\dfrac{\pi}{2 \omega})sin(\omega \tau) $

Poniamo quindi t=0 e otteniamo:

$ y(\tau)=y(0+ \tau)=y(0)cos(\omega \tau)+y(\dfrac{\pi}{2 \omega})sin(\omega \tau) $

Vediamo quindi che l'uscita è una combinazione lineare di seno e coseno alla stessa frequenza, quindi è in sostanza un seno della stessa frequenza con possibilmente ampiezza e fase diverse.

Sento che mancano ipotesi importanti sulla trasformazione T. Potete aiutarmi?

Inoltre, se ci poniamo il problema, data una trasformazione T lineare e tempo invariante, quali sono le funzioni x(t) tali che:

$ T \left[x(t)\right]=\lambda x(t+ \mu ) $

per qualche lambda e mu fissati reali? (simile a cercare gli autovalori e gli autovettori di una matrice, però qui c'è anche lo sfasamento)

Grazie mille