Punti doppi delle coniche

[scifo]

Salve

Vi ringrazio molto per le informazioni, in particolare quelle sui punti doppi...

A proposito di questi, mi pare che essi si ricavano annullando le derivate parziali prime del polinomio rappresentante la curva algebrica...

Quindi per una conica a*x^2 + b*y^2 + c*x*y + d*x + e*y + f = 0

annullando queste derivate ottengo

2*a*x + c*y + d = 0
2*b*y + c*x + e = 0

da cui ricavo il punto doppio

x = (c*e - 2*b*d)/(4*a*b - c^2)
y = (c*d - 2*a*e)/(4*a*b - c^2)

Quindi pare che tutte le coniche abbiano un punto doppio (per la parabola improprio), che mi pare che coincida con il loro centro...

C'è qualcosa di sbagliato in questo procedimento?
Forse si tratta di un punto doppio isolato?

[Nonno Bassotto]

Beh, dovresti controllare che il punto stia sulla conica...

[SkZ]

Penso che la soluzione stia qui:

Salve
A proposito di questi, mi pare che essi si ricavano annullando le derivate parziali prime del polinomio rappresentante la curva algebrica...

Perche' fai cosi'?

[Nonno Bassotto]

No no, questo è giusto, ma insieme deve imporre che il punto sia effettivamente un punto della conica!

[SkZ]

intendo che a volte aiuta a capire perche' si usa uno certo strumento, perche' si guarda l'annullarsi della derivata prima.
Ovvero evitare di applicare bovinamente un procedimento perche' hai problemi poi a scartare i risultati spuri. Come quando la gente si incarta sui punti di sella nella ricerca di massimi e minimi

[scifo]

Salve

Grazie per le informazioni...
Quindi per una conica non esistono punti doppi....

Passiamo quindi alla cubica...
A partire dai suoi coefficienti si può vedere o costruire una cubica che ha punti doppi?

Penso che, teoricamente, per vedere se la cubica ha punti doppi, si dovrebbe vedere se il sistema delle tre equazioni della cubica e delle sue derivate prime che si annullano ha soluzioni, ma mi sembra che così sia troppo complicato...

Non esistono dei metodi non troppo complicati, magari per una generica curva algebrica?

Almeno si può dimostrare che la cubica ha un solo punto doppio?

Help me, please!

[Tibor Gallai]

Come quando la gente si incarta sui punti di sella nella ricerca di massimi e minimi

Bastava dire "come jordan"...

[Nonno Bassotto]

Salve

Grazie per le informazioni...
Quindi per una conica non esistono punti doppi....

Non è vero. Se la conica è l'unione di due rette (cioè il polinomio di secondo grado è il prodotto di due primo grado), il loro punto d'intersezione è un punto doppio.

Passiamo quindi alla cubica...
A partire dai suoi coefficienti si può vedere o costruire una cubica che ha punti doppi?

Certo, ecco un esempio di cubica con punti doppi: $ y^2 = x^3 $ o anche $ y^2 = x^3 - x^2 $. Prova a farti un disegno se hai un programma per disegnare grafici (se no con pazienza a mano).

Penso che, teoricamente, per vedere se la cubica ha punti doppi, si dovrebbe vedere se il sistema delle tre equazioni della cubica e delle sue derivate prime che si annullano ha soluzioni, ma mi sembra che così sia troppo complicato...

Non esistono dei metodi non troppo complicati, magari per una generica curva algebrica?

Purtroppo no, perché la curva può avere o non avere punti singolari (e i punti singolari, se il grado è maggiore di tre, possono non essere necessariamente punti doppi). Esistono altri metodi, ma vedere l'annullarsi delle derivate è il più elementare.

Almeno si può dimostrare che la cubica ha un solo punto doppio?

Sì. Il modo più semplice è questo. Supponi che ce ne siano due e considera la retta passante per questi due punti. L'equazione della cubica ristretta a questa retta è un'equazione cubica, che però in ogni punto doppio ha una radice di molteplicità 2, quindi almeno 4 radici contate con molteplicità.

[Tibor Gallai]

Certo, ecco un esempio di cubica con punti doppi: $ y^2 = x^3 $ o anche $ y^2 = x^3 - x^2 $. Prova a farti un disegno se hai un programma per disegnare grafici (se no con pazienza a mano).

$ $y^2 = x^3 $





$ $y^2 = x^3-x^2 $

[Nonno Bassotto]

Ops... scusa, ho sbagliato la seconda, la versione giusta è $ y^2 = x^3 + x^2 $. Ovviamente su $ \mathbb{C} $ non cambia molto, ma perché si veda qualcosa dal grafico reale bisogna stare attenti al segno.

[Tibor Gallai]

$ $y^2=x^3+x^2 $

[scifo]

Salve

Scusate le imprecisioni sulle mie domande, ma se possibile volevo dei chiarimenti sulle vostre risposte...

Nei riguardi di una conica, quando dicevo che non ha punti doppi, mi riferivo a una conica irriducibile, che penso non li possa avere...o no?
Se sì, c'è una dimostrazione semplice che non li può avere?

Nei riguardi della cubica, quando dicevo se,
... a partire dai suoi coefficienti si può vedere o costruire una cubica che ha punti doppi...
non volevo degli esempi di cubiche con punti doppi, ma se si può esprimere
l'eventuale punto doppio in funzione dei coefficienti generici della cubica...
Cioè data la cubica

a*x^3+b*y^3+c*x^2*y+d*x*y^2+e*x^2+f*y^2+g*x*y+h*x+i*y+j=0

esiste una formula che ricava le coordinate dell'eventuale punto doppio in funzione di a,b,c,d,e,f,g,h,i,j ?:?:

Se ciò non fosse possibile, esiste almeno una formula che, a partire da a,b,c,d,e,f,g,h,i,j
dice se la cubica ha o no punti doppi?

E magari esiste una formula che, a partire dai coefficienti di una curva generica, dice se essa ha o no punti doppi (o multipli o singolari), e quanti ne ha, almeno limitatamente a una quartica, una quintica o una sestica?

Mi dite che esistono altri procedimenti per ricavare i punti doppi, oltre quello delle derivate prime...potete dirmi qualcosa su questi procedimenti?

Help me again, please!:!:

[Nonno Bassotto]

Salve

Scusate le imprecisioni sulle mie domande, ma se possibile volevo dei chiarimenti sulle vostre risposte...

Nei riguardi di una conica, quando dicevo che non ha punti doppi, mi riferivo a una conica irriducibile, che penso non li possa avere...o no?
Se sì, c'è una dimostrazione semplice che non li può avere?

Non li può avere. La dimostrazione è quasi la stessa che ti ho dato per il fatto che la cubica ne può avere al più uno, pensaci un po'...

Nei riguardi della cubica, quando dicevo se,
... a partire dai suoi coefficienti si può vedere o costruire una cubica che ha punti doppi...
non volevo degli esempi di cubiche con punti doppi, ma se si può esprimere
l'eventuale punto doppio in funzione dei coefficienti generici della cubica...
Cioè data la cubica

a*x^3+b*y^3+c*x^2*y+d*x*y^2+e*x^2+f*y^2+g*x*y+h*x+i*y+j=0

esiste una formula che ricava le coordinate dell'eventuale punto doppio in funzione di a,b,c,d,e,f,g,h,i,j ?:?:

Se ciò non fosse possibile, esiste almeno una formula che, a partire da a,b,c,d,e,f,g,h,i,j
dice se la cubica ha o no punti doppi?

Intanto con un cambio di coordinate la cubica si può sempre mettere nella forma $ y^2 = p(x) $ dove p(x) è un polinomio di terzo grado. Per i dettagli puoi vedere la prima parte di Silverman, The arithmetic of elliptic curves.

In questa forma i punti doppi della cubica sono quelli della forma (0, x), dove x è una radice doppia del polinomio p(x). Per cui ti basta trovare le eventuali radici doppie di p(x), cosa che puoi fare con il discriminante o la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado.

E magari esiste una formula che, a partire dai coefficienti di una curva generica, dice se essa ha o no punti doppi (o multipli o singolari), e quanti ne ha, almeno limitatamente a una quartica, una quintica o una sestica?

Beh, in grado più alto le cose diventano più complicate, anche perché come ti dicevo possono comparire singolarità che non sono punti doppi. Non credo esistano formule per trovare i punti doppi più esplicite che fare le derivate.

Mi dite che esistono altri procedimenti per ricavare i punti doppi, oltre quello delle derivate prime...potete dirmi qualcosa su questi procedimenti?

Per trovarli non penso ci sia niente di più esplicito. In certi casi, se invece dell'equazione hai altre informazioni sulla tua curva, possono essere utili altri modi per capire se ci sono punti singolari. Ad esempio analizzare il numero di sezioni del fibrato dualizzante e confrontarlo con il genere geometrico che si ricava dalla formula del genere. A questo punto però sorge una domanda: qual è il tuo background su queste cose?

Help me again, please!:!:

Basta, non siamo su Yahoo answers...