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1. Comincio a seguire la frontiera in una certa direzione. È chiaro che, se ad esempio il blu sta tra il verde e il giallo, allora da una piastrella blu potrò passare o (in avanti) a una blugialla, o (indietro) a una bluverde. Analogamente, da una piastrella bluverde posso passare o (in avanti) a una blu, oppure (indietro) a una verde.

Così, se percorrendo la frontiera in una fissata direzione, capita che percorro il ciclo dei colori sempre nella stessa direzione, allora prima di tornare alla piastrella iniziale devo vederli tutti. Altrimenti, nel momento in cui cambio direzione (ad esempio dal blu prima vado avanti fino al blugiallo e poi indietro fino al blu) trovo sulla frontiera due tratti distinti dello stesso colore (che può essere un colore misto o un colore puro). Nell'esempio che ho fatto per dimostrare il mio claim, il colore che si ripeteva era il bluverde (un colore misto), ma anche fosse stato un colore puro (come il blu) la dimostrazione continuava ugualmente: uso solo il fatto che le piastrelle di un dato colore sono connesse.

2. Ok, però possiamo dimostrare che ogni frontiera che abbia almeno quattro colori ha una piastrella bianca interna. Scegliamo due colori non confinanti X e Y e uniamoli per formare un colore "A". Gli altri colori invece li misceliamo per fare il colore "B". Lasciamo che A giochi contro a B una partita a Hex sul campo formato dalla frontiera e dal suo interno (che, per assurdo, non contiene piastrelle bianche). Se vince A, abbiamo un percorso che va da una piastrella X a una piastrella Y passando solo per piastrelle X o Y, quindi esistono due piastrelle X,Y adiacenti, assurdo perchè X e Y sono colori non confinanti. Se vince B, è la stessa storia, perchè troveremmo due piastrelle confinanti di cui una ha un colore "di quelli che si trovano sulla frontiera andando da X a Y in senso orario" e una ha un colore "di quelli che si trovano sulla frontiera andando da X a Y in senso antiorario", e questi sono colori non confinanti.

Comunque la mia dimostrazione originale del fatto che esiste un punto interno alla curva (ovvero, quello che dovrebbe essere il problema di questa discussione) non usa "approssimazioni" discrete quali le piastrelle e aspetto ancora un po' a postarla.

A parte che non so giocare a Hex, diciamo che mi fido del fatto che tu abbia in tasca la dimostrazione suddetta. Quindi per ora stiamo cercando di dimostrare che le componenti connesse sono al più due.

Riguardo al punto1, supponi che le tue piastrelle colorate formino un 8 in cui un cerchio è Rosso-RossoBlu-Blu-Bluverde-Verde-Verderosso. In quel bordo di componente connessa non c'è un colore (puro o misto) ripetuto. Insomma, in generale non vedo dove tu dimostri la necessità di avere, in una frontiera, la ripetizione di un colore, se non li trovo tutti.

(sì, sto facendo l'avvocato del diavolo, ma il diavolo si nasconde nei dettagli).

Per il punto 1 in realtà non serve giocare a Hex, era un modo per citare un risultato abbastanza noto per cui se coloro con il rosso e il blu una scacchiera del genere:

esiste o un cammino rossa che collega il lato superiore a quello inferiore, oppure un cammino blu che collega il lato sinistro a quello destro. (è anche abbastanza intuitivo che "si può impedire al blu di collegare la sinistra alla destra solo con uno sbarramento verticale rosso"). Visto che si può adattare questo risultato per dimostrare quello che volevo io, non mi son messo a ridimostrare il tutto.

Per il punto 2, io faccio riferimento a un "cerchio dei colori" che è definito fin da quando definisco i punti $ P_1,P_2,\ldots, P_n $. Se ho fissato n punti sulla circonferenza, ogni tratto che va da un punto al successivo prende un colore, e ogni zona di transizione attorno a un punto ha un colore misto. Una piastrella di colore A e una piastrella di colore B possono essere adiacenti solo se il tratto $ P_iP_{i+1} $ corrispondente ad A ed il tratto $ P_jP_{j+1} $ corrispondente a B hanno un P in comune.
Quindi nel tuo esempio con Rosso Blu Verde, ci sono due possibilità:
- o i colori (e quindi i punti con cui ho diviso la circonferenza) sono effettivamente 3, quindi ho tutti i colori
- oppure ci sono più colori: mettiamo che tra il Verde e il Rosso, sulla circonferenza $ S_1 $ prima della deformazione, ci sia il Giallo. In tal caso non sarei potuto passare dal Verde al Verderosso, perchè Verde e Rosso non sono adiacenti e il verderosso non esiste.