Inviato: 25 apr 2010, 23:09
1. Comincio a seguire la frontiera in una certa direzione. È chiaro che, se ad esempio il blu sta tra il verde e il giallo, allora da una piastrella blu potrò passare o (in avanti) a una blugialla, o (indietro) a una bluverde. Analogamente, da una piastrella bluverde posso passare o (in avanti) a una blu, oppure (indietro) a una verde.
Così, se percorrendo la frontiera in una fissata direzione, capita che percorro il ciclo dei colori sempre nella stessa direzione, allora prima di tornare alla piastrella iniziale devo vederli tutti. Altrimenti, nel momento in cui cambio direzione (ad esempio dal blu prima vado avanti fino al blugiallo e poi indietro fino al blu) trovo sulla frontiera due tratti distinti dello stesso colore (che può essere un colore misto o un colore puro). Nell'esempio che ho fatto per dimostrare il mio claim, il colore che si ripeteva era il bluverde (un colore misto), ma anche fosse stato un colore puro (come il blu) la dimostrazione continuava ugualmente: uso solo il fatto che le piastrelle di un dato colore sono connesse.
2. Ok, però possiamo dimostrare che ogni frontiera che abbia almeno quattro colori ha una piastrella bianca interna. Scegliamo due colori non confinanti X e Y e uniamoli per formare un colore "A". Gli altri colori invece li misceliamo per fare il colore "B". Lasciamo che A giochi contro a B una partita a Hex sul campo formato dalla frontiera e dal suo interno (che, per assurdo, non contiene piastrelle bianche). Se vince A, abbiamo un percorso che va da una piastrella X a una piastrella Y passando solo per piastrelle X o Y, quindi esistono due piastrelle X,Y adiacenti, assurdo perchè X e Y sono colori non confinanti. Se vince B, è la stessa storia, perchè troveremmo due piastrelle confinanti di cui una ha un colore "di quelli che si trovano sulla frontiera andando da X a Y in senso orario" e una ha un colore "di quelli che si trovano sulla frontiera andando da X a Y in senso antiorario", e questi sono colori non confinanti.
Comunque la mia dimostrazione originale del fatto che esiste un punto interno alla curva (ovvero, quello che dovrebbe essere il problema di questa discussione) non usa "approssimazioni" discrete quali le piastrelle e aspetto ancora un po' a postarla.
Così, se percorrendo la frontiera in una fissata direzione, capita che percorro il ciclo dei colori sempre nella stessa direzione, allora prima di tornare alla piastrella iniziale devo vederli tutti. Altrimenti, nel momento in cui cambio direzione (ad esempio dal blu prima vado avanti fino al blugiallo e poi indietro fino al blu) trovo sulla frontiera due tratti distinti dello stesso colore (che può essere un colore misto o un colore puro). Nell'esempio che ho fatto per dimostrare il mio claim, il colore che si ripeteva era il bluverde (un colore misto), ma anche fosse stato un colore puro (come il blu) la dimostrazione continuava ugualmente: uso solo il fatto che le piastrelle di un dato colore sono connesse.
2. Ok, però possiamo dimostrare che ogni frontiera che abbia almeno quattro colori ha una piastrella bianca interna. Scegliamo due colori non confinanti X e Y e uniamoli per formare un colore "A". Gli altri colori invece li misceliamo per fare il colore "B". Lasciamo che A giochi contro a B una partita a Hex sul campo formato dalla frontiera e dal suo interno (che, per assurdo, non contiene piastrelle bianche). Se vince A, abbiamo un percorso che va da una piastrella X a una piastrella Y passando solo per piastrelle X o Y, quindi esistono due piastrelle X,Y adiacenti, assurdo perchè X e Y sono colori non confinanti. Se vince B, è la stessa storia, perchè troveremmo due piastrelle confinanti di cui una ha un colore "di quelli che si trovano sulla frontiera andando da X a Y in senso orario" e una ha un colore "di quelli che si trovano sulla frontiera andando da X a Y in senso antiorario", e questi sono colori non confinanti.
Comunque la mia dimostrazione originale del fatto che esiste un punto interno alla curva (ovvero, quello che dovrebbe essere il problema di questa discussione) non usa "approssimazioni" discrete quali le piastrelle e aspetto ancora un po' a postarla.