Un cerchio, anche se storto, ha un interno.

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Un cerchio, anche se storto, ha un interno.

Messaggio da edriv » 18 mar 2010, 23:35

Data una funzione continua iniettiva $ f: S^1 \rightarrow \mathbb R ^2 $, dimostrare che esiste un punto di $ \mathbb R^2 $ attorno al quale la funzione s'avvolge.

Della serie: quelle cose che sono così ovvie...
(ah, ovviamente non vale usare teoremi che implichino troppo facilmente questo fatto)

Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 19 mar 2010, 00:13

Cosa significa "avvolge"?
Sicuramente conosci questo: http://en.wikipedia.org/wiki/Jordan_curve_theorem
Non so se intendi la stessa cosa, ma a occhio sembra un enunciato simile al tuo (in particolare, se è lo stesso enunciato, allora dimostrarlo a mano è un delirio).
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

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Messaggio da edriv » 19 mar 2010, 00:44

La curva avvolge quel punto se, togliendo il punto dal piano, la curva non è omotopicamente nulla.

Il mio enunciato è certamente simile al quel teorema di Jordan (che sarebbe vietato usare), ma è più debole.
Assieme al dire che "esiste un punto attorno a cui la curva non si avvolge" (ma questo è veramente banale, perchè basta prendere un punto molto lontano), questo enunciato implica che la curva divide il piano in almeno due componenti connesse, mentre il teorema di Jordan dice che ne esistono esattamente due (che è molto più forte).

La dimostrazione che ho trovato io (ok, ammetto, non l'ho controllata proprio nel dettaglio che sia giusta) non è così diabolica.

Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 19 mar 2010, 00:47

Tutto chiaro, thx.
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Messaggio da edriv » 24 mar 2010, 14:50

(scrivo qualcosa tanto nessuno sembra intenzionato a rispondere)

L'idea che ho usato per questo problema, sviluppata un po' (un po' tanto), forse mi ha portato a una dimostrazione del teorema di Jordan. Non so se è quella più conosciuta (che in ogni caso non conosco), quindi la scrivo qui a grandi linee.

Sia $ f: S^1 \rightarrow \mathbb R^2 $ continua iniettiva.



QUESTA PARTE È RISCRITTA SOTTO
Prendiamo n punti sulla circonferenza $ P_1,\ldots,P_n $ equispaziati. Disegnamo dei cerchietti intorno a $ f(P_i) $ (per tutti gli i) in modo che questi cerchietti non si intersechino.
Ora consideriamo gli n pezzi di curva che vanno da $ f(P_i) $ a $ f(P_{i+1}) $ e che stanno fuori dai cerchietti che abbiamo disegnato prima, diamo a ciascuno di questi un colore e chiamiamoli "tratti". Per compattezza, esiste un $ \epsilon > 0 $ tale che, se A,B sono punti che appartengono a tratti diversi, allora A e B sono distanti almeno $ \epsilon $. I pezzi di curva (non necessariamente continui) che stanno dentro gli n cerchietti in corrispondenza dei P li chiamiamo "zone di transizione".
Quindi abbiamo diviso la curva in tratti e zone di transizione, dove due tratti distinti hanno una distanza minima tra loro, e per passare da un tratto al prossimo bisogna passare per la zona di transizione.


Prendiamo n punti sulla circonferenza $ P_1,\ldots,P_n $ equispaziati. Scegliamo r>0 e disegnamo attorno ad ogni $ P_i $ un piccolo intervallo $ T_i $ di ampiezza r. Questo r lo possiamo prendere arbitrariamente piccolo, e comunque in modo che i vari $ f(T_i) $ stiano dentro cerchietti centrati in $ P_i $ a due a due disgiunti.
Tolti $ T_i $ da $ S^1 $, restano ancora n intervalli di lunghezza uguale. Le immagini di questi intervalli qui le chiamiamo "tratti", mentre i $ f(T_i) $ sono "zone di transizione". Così abbiamo diviso il cerchio in 2n intervalli, ognuno adiacente con altri due. Possiamo trovare un $ \epsilon > 0 $ tale che se A,B sono punti appartenenti alle immagini di due intervalli distinti e non adiacenti, allora $ d(A,B) > \epsilon $.

Ora consideriamo una pavimentazione esagonale del piano stile Hex, con piastrelle di lato fisso minore di $ \frac 14 \epsilon $, e bianche. Coloriamo alcune piastrelle in questo modo:
- se una piastrella passa sopra (anche per il bordo) a un tratto, la coloriamo dello stesso colore del tratto
- se una piastrella si trova nella zona di transizione blu-verde, la coloriamo di blu-verde (che può essere a seconda dei casi inteso come blu o anche come verde!)

A questo punto si possono dimostrare facilmente un po' di cose per il passaggio dal continuo al discreto:
- le piastrelle di un dato colore (non bianco) sono un insieme connesso (rispetto all'adiacenza tra piastrelle).
- se due piastrelle di colori diversi sono adiacenti, allora una delle due appartiene alla zona di transizione tra i due colori.
- solo un numero finito di piastrelle è colorato
- le piastrelle di un dato colore confinano sempre con le piastrelle bianche che stanno all'esterno (questo claim indimostrato o maldimostrato è stato smascherato da EvG)

E ora, dimenticando la nostra curva e lavorando solo sulla pavimentazione, si dimostrano un altro po' di cose (una tecnica efficace è definire un algoritmo per seguire i bordi tra due colori diversi, inoltre è utile notare che il piano è una superficie orientata):
- dato un insieme connesso A, definendo "valichi" tutte le coppie di piastrelle adiacenti di cui una è in A e una non è in A, l'insieme dei valichi (considerando adiacenti quelli con una piastrella in comune) ha la struttura di grafo ciclico che chiamiamo "frontiera di A"
- elminando la frontiera di A (intesa come insieme di lati) si divide il piano in due componenti connesse, di cui una è A
- consideriamo una componente connessa bianca, e l'insieme delle piastrelle colorate adiacenti alla frontiera ("frontiera colorata"). Anche in questo insieme, le piastrelle di un dato colore (ad es. verde) sono connesse. Anche le piastrelle di due colori (ad es. le piastrelle blu e verdi) sono connesse.
- come conseguenza, percorrendo un'ipotetica frontiera colorata, non potremo trovare qualcosa tipo Verde (ma non blu) ---> Blu (ma non verde) ---> Verde (ma non blu). (e senza ulteriori colori in mezzo) Altrimenti dovremmo incontrare due pezzi bluverdi sconnessi tra loro.
- segue che le frontiere colorate:
* o sono tutte dello stesso colore (al limite passando per colori intermedi)
* o contengono tutti i colori.

- si dimostra infine che le frontiere colorate che contengono tutti i colori sono esattamente due (interna ed esterna)

A questo punto è praticamente finita.
Scegliamo un reale $ d>0 $. Per compattezza si può trovare un $ r>0 $ tale che, se $ d(a,b) <r $ per $ a,b \in S^1 $, allora $ d(f(a),f(b)) < d $.
Prendiamo un punto Q, dal quale la curva sia sempre distante almeno d.
E scegliamo i punti $ P_1,\ldots,P_n $ con n abbastanza grande in modo che $ d(P_i, P_{i+1}) < r $. La pavimentazione del piano decidiamo di farla con degli esagoni che abbiano un lato contemporaneamente minore di $ \frac 14 \epsilon $ e di $ \frac 12 d $. In questo modo, valgono tutte le proprietà sulla pavimentazione dimostrate prima, e inoltre:
- Q sta sopra una piastrella bianca (perchè è abbastanza lontano dalla curva rispetto al diametro delle piastrelle)
- Q non può stare in una componente connessa chiusa da piastrelle dello stesso colore. Altrimenti avremmo un tratto monocromatico di curva che passa da una piastrella sulla frontiera colorata (della componente connessa bianca di Q) a un'altra piastrella sulla frontiera colorata "diametralmente opposta", e questo non può essere perchè per costruzione i tratti possono essere lunghi al massimo d, che non è una lunghezza sufficiente a fare mezzo giro di una piastrella esagonale di lato d/2.

Quindi Q sta in una delle due componenti bianche chiuse da una frontiera contutticolori. Quindi, per ogni d>0, i punti che hanno una distanza maggiore di d dalla curva stanno tutti in due componenti connesse del (piano - curva). Visto che (per compattezza) ogni punto fuori dalla curva ha una distanza positiva dalla curva, concludiamo che il piano viene diviso in due componenti connesse.
Ultima modifica di edriv il 11 apr 2010, 18:50, modificato 3 volte in totale.

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 27 mar 2010, 14:24

Non sono sicuro e mi riprometto di leggere con attenzione per verificare, ma credo che tu usi questo: che la curva sia tamed, ovvero che per ogni punto (dell'immagine) esista un intorno che è omeomorfo a un disco di modo che la curva diventi il diametro.
O forse, poco meno, ti serve che per ogni punto ci sia un intorno che interseca la curva in un numero finito di componenti connesse.

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Messaggio da edriv » 27 mar 2010, 15:53

Bo in pratica la mia dimostrazione si riassume come: modello la curva come un grafo ciclico, fatto di vertici e segmenti, in cui:
- i vertici sono pezzi di curva connessi e piccoli quanto voglio io
- i segmenti sono pazzi di curva connessi e basta
dove se elementi (vertici o segmenti) che non sono adiacenti, allora i loro punti hanno almeno una distanza minima d>0 tra di loro. (due segmenti non sono mai adiacenti)
ma per come li intendo io, questi "vertici e segmenti" (che ho chiamato anche "zone di transizione" e "tratti") non sono necessariamente disgiunti, e la loro intersezione non è per forza connessa.

Questo modello è vero per il cerchio, per continuità e compattezza è vero anche per la curva, e con delle piastrelle abbastanza piccole diventa vero anche per le piastrelle (in cui il problema dell'essere "tamed" non si pone più).

Ammetto che la dimostrazione è tutt'altro che formalizzata e c'è ampio spazio per errori (infatti proprio per questo l'ho postata), ma non riesco a trovare come userei che è "tamed"!

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Messaggio da Tibor Gallai » 27 mar 2010, 15:58

Cioè, se la curva ha delle cose che assomigliano a $ $x \sin x^{-1} $in un intorno di 0, cosa fai?
O se risolvi con questo, "arriccialo" opportunamente e vedi se continui a saperlo risolvere... Spero di essermi spiegato.
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Messaggio da edriv » 27 mar 2010, 18:58

Sì ho capito quello che diceva EvaristeG... però preferirei che qualcuno mi indicasse (approssimativamente) in che punto della dimostrazione ci sarebbe questo errore!

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 27 mar 2010, 20:15

Allora, ti chiedo di esplicitare alcuni punti (visto che potresti avere dimostrazioni diverse da quelle che mi vengono in mente, dei molti punti che non dimostri):

0. Ti serve che le componenti connesse di un tratto o di una zona di transizione siano finite?

1. Le piastrelle di un certo colore confinano sempre con la zona bianca esterna.
Perché?

2. Perché ci sono esattamente due frontiere con tutti i colori?

Cmq, ripeto, appena riesco a leggermela con calma e a dimostrare tutte le affermazioni lì in mezzo, ti dico meglio .. magari mi sbaglio, ma di solito questa è la parte delicata di una dimostrazione "casereccia" di Jordan: la dimostrazione che la curva è tamely embedded, oppure, equivalentemente, un teorema di uniforme approssimazione con poligoni che funzioni bene per la regione interna.

Inoltre, prendi la funzione
$ x(\sin^2x^{-1}+1) $
vicino all'origine, sui positivi e riflettila nell'asse delle x, poi chiudila in una curva chiusa.

Qualunque d tu scelga, c'è modo di scegliere i tuoi P_i in maniera che non esista una regione bianca con il bordo di tutti i colori...

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Messaggio da edriv » 28 mar 2010, 10:26

Ok, mi sono accordo che avevo definito in modo sbagliato i tratti e le zone di transizione. Ora ho riscritto, ed è chiaro che, essendo immagini di intervalli, sono connessi. Quindi sì, mi serve che le componenti connesse di un tratto o di una zona di transizione siano finite. (devono essere una sola).

1. Diciamo che il nostro "colore" è il tratto da $ P_i $ a $ P_{i+1} $. Consideriamo l'asse (retta equidistante da due punti) di $ f(P_i), f(P_{i+1}) $ e vediamo le piastrelle che interseca. Ce n'è almeno una del nostro colore, perchè il nostro tratto va da una parte all'altra della retta (qui uso il fatto che le zone di transizione sono contenute in cerchi dello stesso raggio disgiunti), e inoltre ce n'è un numero finito, quindi ci sono due piastrelle estreme A e B. Queste confinano (all'esterno) con altre due piastrelle che:
- non possono appartenere a un altro tratto, perchè due piastrelle di tratti diversi non sono mai vicine
- non possono appartenere ad una delle due zone di transizioni adiacenti al tratto, perchè queste stanno dentro a dei cerchi disgiunti dall'asse (ok, in realtà serve che la distanza tra i due cerchi sia maggiore di due volte il diametro della piastrella, ma anche questo si può avere tranquillamente).
quindi sono bianche. Chiamiamole A' e B'.

Ora seguiamo la curva. Andando da $ P_i $ a $ P_{i+1} $, se passiamo sul nostro asse, dobbiamo farlo passando internamente ad A' e B'. Quindi questo tratto qua sarà omotopico (nel piano dove al posto di A' e B' ci sono due buchi) al segmento da $ f(P_i) $ a $ f(P_{i+1}) $. Ora consideriamo il ritorno, da $ P_{i+1} $ a $ P_{i} $. Deve passare sul'asse esternamente ad A' e B'. Quindi questo tratto sarà omotopico a uno dei due giretti che vanno da $ f(P_{i+1}) $ a $ f(P_i) $ passando esternamente al segmento A' B'.
In conclusione, tutta la curva gira o attorno alla piastrella A', o intorno alla piastrella B'. Quindi il nostro colore è a contatto sia con una bianca interna, sia con una bianca esterna.


Per il 2. devo pensarci un po' perchè non avevo considerato un caso.

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Messaggio da edriv » 28 mar 2010, 12:13

2. Perchè ci sono almeno due frontiere con tutti i colori?
Una è la frontiera esterna. Nel post precedente ho dimostrato che ogni colore è a contatto con la zona esterna, e si dimostra (nel piano piastrellato) che l'insieme delle piastrelle bianche attorno alle quali la curva non s'avvolge è connesso. Quindi la frontiera della zona esterna necessariamente tocca tutti i colori.

Nel post precedente ho anche dimostrato che c'è almeno un punto attorno al quale la curva s'avvolge (che poi era il problema originario). Se i tratti sono abbastanza corti rispetto alla distanza di questo punto dalla curva (cosa che si può sempre ottenere con n grande) la frontiera della componente (nel piano piastrellato) non può essere monocromatica perchè altrimenti un solo tratto dovrebbe riuscire a fare il giro del punto. E se non è monocromatica, ha tutti i colori.

Perchè non ci possono essere più di due frontiere con tutti i colori?
Diamo per assodato che nel piano piastrellato ci sia un concetto di "dentro" e "fuori" per le frontiere. Supponiamo ci siano almeno tre frontiere, di cui una è quella esterna. Le altre due sono dentro quella esterna. Queste possono stare:
- una dentro l'altra (e questo caso è chiaramente impossibile perchè sconnetterebbe la curva)
- una esterna all'altra.

Per trattare questo caso (che era quello che non avevo considerato) ci serve aggiungere un'altra ipotesi alla costruzione. Prendiamo i nostri punti $ P_i $, consideriamo due $ P_i, P_j $ distinti. Sia d la loro distanza. Allora aggiungiamo altri punti P (moltiplicando n) in modo che il diametro di ogni tratto sommato a r (il raggio che scegliamo, piccolo a volontà, per limitare le zone di transizione) non superi (d-4r)/4.

A questo punto consideriamo una delle due frontiere multicolorate, e dimostriamo che anche la seconda si avvolge all'interno della prima. Prendiamo due zone di transizione consecutive. Prendiamo due piastrelle A ed A' nella prima (dove A fa parte della prima frontiera, e A' della seconda), e due piastrelle B e B' nella seconza zona di transizione, B nella prima frontiera e B' nella seconda. Lavoriamo ora nel piano di piastrelle in cui l'interno della prima frontiera è diventato un buco. Facciamo questo percorso:
- andiamo da A a B attraverso la prima frontiera
- andiamo da B a B' rimanendo dentro la zona di transizione di B
- andiamo da B' ad A' attraverso la seconda frontiera
- andiamo da A' ad A rimanendo dentro la zona di transizione di A
Si può fare questo percorso in modo che sia monocromatico. Inoltre, il secondo e il quarto tratto stanno ognuno dentro un cerchio di raggio r, mentre il primo e il terzo stanno ognuno dentro un cerchio di raggio m (dove definisco m come il massimo diametro di un tratto). Quindi complessivamente questo percorso chiuso sta dentro un cerchio di diametro 4m + 4r. Ma il buco bianco della prima frontiera ha un diametro di almeno d - 4r (d è definito nel paragrafo precedente), che è la distanza necessaria ad uscire dalla zona di transizione $ P_i $, andare fino a $ P_j $ e raggiungere un altro punto di quella zona.
Infine si capisce che il percorso ABB'A'A non può girare attorno al buco della prima frontiera. Quindi AB ed A'B' girano attorno al buco "nella stessa direzione", ed andando avanti così si conclude che anche la seconda frontiera fa un giro intorno al buco della prima frontiera, quindi le due frontiere sono una dentro l'altra.

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Messaggio da EvaristeG » 08 apr 2010, 23:20

edriv ha scritto: Ora consideriamo il ritorno, da $ P_{i+1} $ a $ P_{i} $. Deve passare sul'asse esternamente ad A' e B'. Quindi questo tratto sarà omotopico a uno dei due giretti che vanno da $ f(P_{i+1}) $ a $ f(P_i) $ passando esternamente al segmento A' B'.
In conclusione, tutta la curva gira o attorno alla piastrella A', o intorno alla piastrella B'. Quindi il nostro colore è a contatto sia con una bianca interna, sia con una bianca esterna.
Mi puoi dimostrare l'affermazione in grassetto?
E' talmente ovvia, ma del resto lo è anche Jordan.

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Messaggio da edriv » 11 apr 2010, 19:27

Ok effettivamente la dimostrazione del punto "1" non sta proprio in piedi.
Nel frattempo ho trovato una pezza.

Nel punto "1" dimostro che ogni colore è a contatto con una piastrella bianca interna e una esterna. Perchè lo faccio?
Perchè uso implicitamente questo fatto quando dimostro che ogni frontiera di una componente di piastrelle bianche, se non ha tutti i colori, ne deve avere uno solo.
A sua volta, questo fatto mi serve a dimostrare che le frontiere che non hanno tutti i colori (e quindi, secondo il claim, uno solo) sono abbastanza piccole per cui, usando dei piastrellamenti sempre più fini, devono scomparire.

Ora cambio questo claim e dimostro che se una una componente connessa di piastrelle bianche ha la frontiera che non contiene tutti i colori, deve essere circondata da un percorso chiuso e monocromatico di piastrelle.
Prendiamo una siffatta frontiera. Seguendola, se non si incontra tutti i colori, si deve arrivare ad una configurazione del genere:
Blu (ma non verde) (1) -> Bluverde (2) -> Verde (ma non blu) (3) -> Bluverde (4) -> altre cose -> (1)
Supponiamo che la stiamo percorrendo in senso orario. Visto che le piastrelle bluverdi sono connesse, esiste un percorso di piastrelle bluverdi che collega il primo tratto bluverde (2) al secondo tratto bluverde (4). Questo percorso chiaramente non può passare per l'interno della componente bianca (appunto perchè è bluverde, e non bianco), quindi ci gira intorno in senso orario o antiorario.
Se è in senso orario, troviamo un percorso di piastrelle del tipo:
Blu (ma non verde) (1) -> Bluverde (2) ---> (seguiamo il percorso bluverde da 2 a 4) ---> Bluverde (4) ---> altre cose ---> (1)
così abbiamo un percorso che gira intorno alla componente bianca e che ha un tratto verde in meno.
Se è in senso antiorario, consideriamo il percorso orario:
Bluverde (2) -> Verde (ma non blu) (3) -> Bluverde (4) -> (seguiamo al contrario il percorso bluverde da 4 a 2) -> Bluverde (2)
In questo secondo caso abbiamo addirittura trovato un percorso monocromatico che chiude la componente.

Iterando questo procedimento sul nuovo percorso trovato, continuerà comunque a diminuire il numero di tratti colorati, fino ad avere un percorso monocromatico che chiude la componente. (che è appunto quello che dice il claim)


A questo punto la dimostrazione continua come prima: una componente connessa chiusa da un percorso chiuso di piastrelle monocromatiche non può essere grande.
Infatti, due punti sulla curva dello stesso colore (facciamo finta che sia il verde, che nella curva si trova tra il rosso e il blu) non possono essere più distanti di:
[diametro della zona di transizione rossoverde] + [diametro del tratto verde] + [diametro della zona di transizione verdeblu]
Tutte queste tre grandezze tengono a 0 all'aumentare del numero di punti P che usiamo per dividere la curva. Quindi, visto che la componente bianca che stiamo considerando è circondata da un percorso che ha diametro k (che tende a 0), anche la componente bianca stessa ha un diametro minore o uguale a k. (questo segue ad esempio dal fatto che l'inviluppo convesso di una curva chiusa comprende la sua parte interna).

Quindi la dimensione delle componenti di piastrelle bianche la cui frontiera non ha tutti i colori tende a 0, che è quello che ci serviva per concludere la dimostrazione.



(mi scuso se ho un modo di scrivere davvero disordinato e difficile da leggere...)

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Messaggio da EvaristeG » 25 apr 2010, 11:08

Due domande (ci ho pensato ma non ho trovato giustificazioni immediate):
1. perché esistono due tratti bluverdi nella frontiera della stessa componente?
2. l'errore del punto 1 precedente inficiava anche la dimostrazione del fatto che ci fosse almeno un punto attorno a cui la curva si avvolge, quindi ora non sai più che ci sono almeno 2 componenti connesse, giusto?

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