non bastano due palle per fare un toro

[ma_go]

beh, il titolo dice tutto:

dimostrare che un toro $ S^1\times S^1 $ non è unione di due palle, senza usare conoscenze "avanzate" (vedi van kampen o omologia).

[edriv]

Cosa si intende per unione?
Palle vuol dire $ S_2 $?

[ma_go]

unione insiemistica. palle = copie di $ \{|z|<1|z\in\mathbb{C}\} $.

[Tibor Gallai]

Sì maaa... Non bisognerebbe fissare uno "spazio ambiente" in cui immergere tutte quelle cose? Altrimenti non capisco il senso del problema.

[Tibor Gallai]

Ok, riformulo il problema dandogli una semantica chiara, che tra le tante possibilità che ho considerato è una delle poche che risolva il guazzabuglio derivante dal far coesistere omeomorfismi e unioni insiemistiche in un non ben precisato spazio, e tra queste è l'unica interpretazione che non renda l'enunciato falso o banalmente vero. E poiché nessuno mi rispondeva, o era tutto estremamente chiaro, o era tutto estremamente oscuro...

Intanto: quando si dice "è" e quando si dice "copia", si intende rispettivamente "è omeomorfo a" e "copia omeomorfa".
Appurato questo, consideriamo come "spazio ambiente" un toro, inteso come spazio topologico. Nella topologia del toro definiamo le palle come gli aperti che sono omeomorfi alla palla aperta definita (con una buffa notazione "invertita") nel 3° post.
Il problema ora è dimostrare che non esistono due palle siffatte la cui unione è tutto il toro. Ed è un problema bellino!

Pant pant.

[rargh]

Non so molto di topologia, ma se prendiamo una palla e la deformiamo omeomorficamente in una metà di un toro, poi prendiamo l'altra palla e la deformiamo in un altraà metà di un toro. Deformiamo il mezzo toro destro in modo che sia un po' più lungo di metà di un toro, poi uniamo le due metà. Otteniamo un toro aperto...

cosa sto sbagliando?

[Tibor Gallai]

prendiamo una palla e la deformiamo omeomorficamente in una metà di un toro

Questo. Non si può, perché hanno gruppo di omotopia diverso.
(non so se si possa dire "gruppo di omotopia" in questo thread, ma era per spiegarti)

[edriv]

Siano f,g gli embedding della palla nel toro. f e g si estendono in modo unico ad embedding della palla chiusa nel toro, e d'ora in poi quando parlo di "palle" intendo sempre palle chiuse. Inoltre il bordo di una palla dovrà sicuramente appartenere all'altra palla (sono cose piuttosto intuitive).

L'obiettivo è prendere un laccio dentro il toro: $ l: S_1 \rightarrow S_1^2 $ e deformarlo in un punto.

Consideriamo una funzione $ s: S_1 \times ]0,1] \rightarrow B $ (B è la palla, che ora penso come un cerchio chiuso di raggio unitario) che manda (P,t) (dove P è un punto sulla circonferenza di B e t è un "tempo") nel punto Q che si trova sullo stesso raggio di P ad una distanza t dal centro. s è un omeomorfismo tra il suo dominio e la sua immagine (cioè la palla privata di centro). Diciamo anche che possiamo "scegliere" il centro di B in modo che la sua immagine secondo f non appartenga al laccio l.

Fatto questo, deformiamo un laccio. Per prima cosa, lo portiamo tutto dentro la seconda palla, avvicinando al bordo della prima palla i punti che stanno dentro alla prima palla. Detto meglio, sia P un punto sul laccio. Se P si trova fuori la prima palla, lo lascio fermo. Altrimenti, presi $ (P_0, t_0) = s^{-1}(f^{-1}(P)) $, definiamo $ d(P, t) = f(s(P_0, (1-t)t_0 + t)) $ dove $ d:S_1 \cdot [0,1] \rightarrow S_1^2 $ sarebbe la deformazione del laccio.

La d così definita dovrebbe essere continua, e deforma il laccio fino a che (nell'istante 1) i suoi punti si trovano o fuori dalla prima palla, o sul bordo di essa. Quindi in ogni caso l'abbiamo deformato in modo da portarlo completamente dentro la seconda palla, e a questo punto si può tranquillamente deformarlo in un punto.

Così abbiamo dimostrato che ogni spazio -(boh magari non proprio ogni spazio... sarebbe meglio dire ogni toro) che è unione di due palle è semplicemente connesso.

[Nonno Bassotto]

Esercizio per edriv:
1) trova uno spazio che non è semplicemente connesso ma è unione di due palle
2) usa l'esempio per trovare la mancanza nella dimostrazione che hai dato

[edriv]

Ok, ho dato per scontato che il bordo di una palla fosse dentro l'altra, ma non era così scontato. Così la tesi diventa: ogni 2-varietà che è unione di due palle, è semplicemente connessa.

Prendiamo un punto P sul bordo della prima palla e un intorno di P omeomorfo a $ \mathbb{R}^2 $. Se l'intorno di P è disgiunto dalla seconda palla, appartiene completamente alla prima palla, ma quindi (essendo P sul bordo) l'intorno non può essere omeomorfo a $ \mathbb{R}^2 $. Quindi ogni intorno di P interseca la seconda palla, quindi P sta sulla seconda palla.

[ma_go]

aspetta, mi sono perso qualcosa...
nel tuo ultimo post hai dimostrato
A) se una 2-varietà è unione di due palle è semplicemente connessa
o
B) se una 2-varietà è unione di due palle chiuse X e Y tali che il bordo di X è contenuto in Y e viceversa, allora è semplicemente connessa?

[Nonno Bassotto]

Ok, ho dato per scontato che il bordo di una palla fosse dentro l'altra, ma non era così scontato. Così la tesi diventa: ogni 2-varietà che è unione di due palle, è semplicemente connessa.

Prendiamo un punto P sul bordo della prima palla e un intorno di P omeomorfo a $ \mathbb{R}^2 $. Se l'intorno di P è disgiunto dalla seconda palla, appartiene completamente alla prima palla, ma quindi (essendo P sul bordo) l'intorno non può essere omeomorfo a $ \mathbb{R}^2 $. Quindi ogni intorno di P interseca la seconda palla, quindi P sta sulla seconda palla.

No, non è questo il problema. Il problema è l'affermazione che l'embedding di una palla aperta si estende ad un embedding della palla chiusa. Un esempio di un cilindro privo di bordo, che è unione di due palle e non è semplicemente connesso, ti fa capire dove sta il problema.

E attenzione: nel caso del cilindro il problema è sostanzialmente di compattezza (mancano i punti in cui mandare il bordo di una palla). Ma anche nel caso che la varietà di arrivo sia compatta, il problema di estendere al bordo una funzione continua è tutt'altro che banale (cioè in generale non è vero che si estende). La funzione al bordo può comportarsi in modo molto selvaggio.

Inoltre c'è anche il caso il cui la varietà di arrivo sia compatta e la funzione sia sufficientemente buona da estendersi, ma non resta un embedding. Puoi fare un esempio di questo caso con la sfera meno un punto.

[edriv]

Bo, visto che è tanto faticoso costruirsi un bordo, ne prendiamo uno già fatto! (e cancelliamo anche il discorso sulla 2-varietà)

Il complementare della seconda palla è un chiuso (dentro il toro), quindi un compatto, e resta compatto se lo consideriamo come sottoinsieme della prima palla, quindi è contenuto dentro una palla chiusa.

A questo punto il mio discorso fila: prendo un laccio, lascio fermo il tratto che sta fuori la palla chiusa (o sul bordo), e deformo il tratto interno alla palla chiusa in modo da farlo finire sopra il bordo. Questa trasformazione non dovrebbe avere problemi ad essere continua. A questo punto l'ho portato dentro la seconda palla (aperta), e lo deformo lì fino ad un punto.

La tesi sarebbe che ogni compatto unione di due palle aperte è semplicemente connesso.

[Nonno Bassotto]

Ok, adesso mi sembra che fili.