Celebri somme infinite

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spugna
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Celebri somme infinite

Messaggio da spugna » 15 feb 2010, 23:18

In un libro che ho a casa c'è scritto che con la formula di Taylor si possono dimostrare identità come queste:

$ \sin x=\displaystyle \sum_{i \in \mathbb{N}}{\left( (-1)^i \dfrac{x^{2i+1}}{(2i+1)!} \right)} $

$ \cos x=\displaystyle \sum_{i \in \mathbb{N}}{\left( (-1)^i \dfrac{x^{2i}}{(2i)!} \right)} $

Qualcuno mi spiega come ci si arriva?
"Bene, ora dobbiamo massimizzare [tex]\dfrac{x}{(x+100)^2}[/tex]: come possiamo farlo senza le derivate? Beh insomma, in zero fa zero... a $+\infty$ tende a zero... e il massimo? Potrebbe essere, che so, in $10^{24}$? Chiaramente no... E in $10^{-3}$? Nemmeno... Insomma, nella frazione c'è solo il numero $100$, quindi dove volete che sia il massimo se non in $x=100$..?" (da leggere con risatine perfide e irrisorie in corrispondenza dei puntini di sospensione)

Maledetti fisici! (cit.)

Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 15 feb 2010, 23:31

In MNE.
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Messaggio da SkZ » 16 feb 2010, 03:13

quella deriva da
$ $e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x} $
e
$ $e^x=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} $

che intendi per "formula di Taylor"?
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

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Messaggio da Gatto » 16 feb 2010, 09:59

Penso intenda lo sviluppo di maclaurin... $ \displaystyle F(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n} $ (chiaramente per le funzioni "buone") da cui volendo seguono direttamente gli sviluppi di seno e coseno, senza passare necessariamente dall'esponenziale e dai complessi...
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Messaggio da SkZ » 16 feb 2010, 19:42

per i piu' pignoli "funzione buona"$ $=\in C^\infty $ :wink:
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Messaggio da fph » 16 feb 2010, 21:07

SkZ ha scritto:per i piu' pignoli "funzione buona"$ $=\in C^\infty $ :wink:
veramente non basta: $ e^{1/x^2} $ è un esempio classico... :roll:
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Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 16 feb 2010, 22:44

Eh già, quando vidi quella funzione, per la prima volta mi sentii veramente triste e sconsolato davanti a un controesempio. :cry:
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Messaggio da rargh » 12 apr 2010, 16:46

E invece

$ $f(x)=exp\left(\dfrac{1}{(1+x)^{2}}\right) $ è sviluppabile secondo Taylor in $ \mathbb{R}^{+} $ ?

Possiamo semplicemente sostituire $ \dfrac{1}{(1+x)^{2}} $ nello sviluppo di $ e^{x} $?

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Messaggio da SkZ » 12 apr 2010, 17:17

no, perche' nello sviluppo di taylor abbiamo lo sviluppo in un polinomio ;)

A occhio direi che dovrebbe essere sviluppabile dato che e' continua e limitata e mi pare pure le sue derivate :?

il buon Brasca mi ricorda che $ $(1+x)^a $ e' sviluppabile per $ ~|x|<1 $ :wink:
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