Proprietà di e^x in analisi

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edriv
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Proprietà di e^x in analisi

Messaggio da edriv » 02 feb 2010, 21:52

Ci sono alcune proprietà delle funzioni esponenziali che sono utilizzate molto spesso, che suonano molto intuitive, ma delle quali non ho mai trovato (ad esempio sui libri del liceo) dimostrazioni che mi soddisfacessero. Quindi.

Definiamo una "funzione esponenziale" $ f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R $ come una funzione monotona tale che $ f(a+b)=f(a)f(b) $ per ogni $ a,b \in \mathbb R $.
Dimostrare nel modo più "naturale" possibile le seguenti proprietà:
- f è continua
- f è derivabile
- f è convessa

Esempio di cosa intendo con "naturale".
Dimostrare che $ (1+\frac 1 x)^x $ è crescente e limitata usando lo sviluppo della potenza di un binomio, ecco, questo è tutto tranne che naturale.

Aggiungo che, essendo una gara più che altro di estetica, può benissimo rispondere anche chi fa matematica da 10 anni.

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Nonno Bassotto
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Re: Proprietà di e^x in analisi

Messaggio da Nonno Bassotto » 03 feb 2010, 16:59

edriv ha scritto: Esempio di cosa intendo con "naturale".
Dimostrare che $ (1+\frac 1 x)^x $ è crescente e limitata usando lo sviluppo della potenza di un binomio, ecco, questo è tutto tranne che naturale.
Non mi è del tutto chiaro cosa intendi per naturale. Ad esempio, avendo davanti una potenza di un binomio, a me non sembra del tutto peregrina l'idea di svilupparla. Forse dovresti chiarire meglio cosa intendi.

Accenno un paio di approcci, dimmi tu se sono naturali o no.

1) Costruiamo la solita funzione esponenziale nel modo che preferiamo, ad esempio come unica soluzione del problema di Cauchy exp(0) = 1, exp' = exp, e ne ricaviamo le proprietà. In particolare ne ricaviamo l'inversa che chiamiamo log.

Sia ora g = log f, dove f è una funzione esponenziale. Questa è ben definita perché dall'equazione per f segue subito che f prende valori positivi. Allora g è monotona e soddisfa g(a+b) = g(a) + g(b). Questa è l'equazione di Cauchy, comparsa tante volte sul forum, e si fa vedere che le uniche soluzioni monotone sono le funzioni g(x) = a x. Ne segue che f(x) = exp(ax), e quindi ha tutte le buone proprietà che vogliamo.

2) Come sopra, ma non costruiamo preventivamente la funzione exp. Trasformiamo direttamente la dimostrazione che ogni funzione monotona che soddisfa l'equazione di Cauchy è lineare nella dimostrazione che ci serve, cambiando le somme in moltiplicazioni dove necessario.
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Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 03 feb 2010, 17:33

Secondo me, con "naturale" intendeva "elementare", ma non voleva entrare in contraddizione trovandosi in MNE.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

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edriv
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Messaggio da edriv » 03 feb 2010, 17:35

Beh, dal punto di vista di un matematico con una conoscenza un minimo ampia e con i suoi algoritmi per risolvere i problemi, possiamo dire che la dimostrazione con lo sviluppo di un binomio sia "naturale". Però boh, personalmente il fatto che si debba tirare fuori dei coefficienti binomiali e fare un'abbondante manipolazione di simboli, mi fa sembrare troppo poco intuitiva una dimostrazione del genere. Secondo me il fatto che e^x sia derivabile dovrebbe essere abbastanza ovvio che non sia necessario sconfinare così tanto di campo (passando a raginamenti più tipicamente algebrici, nel caso della dimsotrazione coi binomiali) per dimostrarlo.

Le tue due dimostrazioni sono semplici però sono del tipo "costruiamo una funzione esponenziale per benino in modo che soddisfi la tesi, e poi facciamo vedere che ogni funzione esponenziale è tra quelle costruite da me". Uno vorrebbe anche una dimostrazione diretta, senza ulteriori costruzioni, basandosi solo sulla definizione che ho dato io.

Comunque riformulo meglio il primo punto in questo modo:
- sia $ f: \mathbb Q \rightarrow \mathbb R $ una funzione tale che $ f(a+b)=f(a)f(b) $. Dimostrare che f è continua, quindi si può estendere unicamente a una funzione che abbia per dominio $ \mathbb R $.


Insomma, il succo del problema è: il signor edriv ha trovato una dimostrazione che non aveva visto prima di questi fatti, quindi visto che non può semplicemente scriverla sul forum per gasarsi un po', la fa trovare a voi.

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edriv
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Messaggio da edriv » 03 feb 2010, 17:44

Tibor Gallai ha scritto:Secondo me, con "naturale" intendeva "elementare", ma non voleva entrare in contraddizione trovandosi in MNE.
Ad esempio il concetto di integrale (usato elementarmente) lo ritengo "naturale", visto che fin dalle elementari si parla di aree, mentre ci sono costruzioni arzigogolate che si basano su metodi elementarissimi ma che non considererei per nulla naturali.

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Nonno Bassotto
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Messaggio da Nonno Bassotto » 04 feb 2010, 00:55

edriv ha scritto: quindi visto che non può semplicemente scriverla sul forum per gasarsi un po'
perché no?
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Messaggio da edriv » 06 feb 2010, 14:27

Bo la mia era questa.
Definiamo come $ \Delta_{x,y} $ il rapporto incrementale $ \frac{ f(x) - f(y)}{x-y} $.

Per semplicità assumiamo che $ f(1) > 1 $, gli altri casi sono analoghi.
A questo punto è scontato dimostrare per induzione, sui razionali, che $ f(a) > 1 $ quando $ a > 0 $ e che f è crescente.

Passiamo a dimostrare la continuità.
Dal fatto che f è una funzione esponenziale, segue che:
$ \Delta_{x,x+k} = f(x) \Delta_{0,k} $
Quindi, se per un certo k si ha: $ \Delta_{0,k} = M $, questo implica che (per ogni $ x\ge 0 $) $ \Delta_{x,x+k} = f(x)\Delta_{0,k} \ge 1 \cdot M $ e, per induzione, si vede facilmente che $ \Delta_{0, kn} \ge M $ per ogni n, quindi $ f(x) \ge f(0) + Mx $ se x è un multiplo intero (positivo) di k. Per la crescenza di f, per ogni $ x>0 $ deve valere $ f(x) \ge f(0) + M(x-k) $ A questo punto, al tendere di k a 0, è chiaro che M deve rimanere limitato.

Quindi il rapporto incrementale in un intorno di 0 è limitato, quindi la funzione è continua in 0, quindi la funzione è continua in ogni punto (visto che $ f(a) - f(a+\delta) = f(a)(f(0) - f(\delta) $).

A questo punto si può estendere la funzione su tutto R ed è banale vedere che conserva la proprietà di essere "esponenziale".

L'idea di fondo per dimostrare la derivabilità è questa. Se per a,b "piccoli" abbiamo dei rispettivi $ \Delta_{0,a}, \Delta_{0,b} $ in cui il primo è "molto" più grande del secondo, allora essendo $ \Delta_{x,x+a} = f(x) \Delta_{0,a} $ (e lo stesso per b), in ogni punto x avremo che $ \Delta_{x,x+a} $ è molto più grande di $ \Delta_{x,x+b} $. Ma una funzione del genere ci sembra molto incoerente, visto che i rapporti incrementali non possono essere scelti a caso ma rappresentano in qualche modo l'andamento generale della funzione. Vogliamo mostrare questa "incoerenza" integrando.

Visto che la funzione è continua, gli integrali sono ben definiti. A questo punto integriamo su un qualsiasi intervallo [u,v]:
$ \int_{u}^{v} \Delta_{x,x+a} dx = \frac 1a \int_{u}^{v} f(x+a) - f(x) dx = \frac 1a (\int_v^{v+a} f(x) dx - \int_u^{u+a} f(x) dx) $ $ = M_f[v,v+a] - M_f[u,u+a] $ dove M è il valor medio in quell'intervallo. (questo per "coerenza"). D'altra parte, per il fatto che f è esponenziale:
$ \int_{u}^{v} \Delta_{x,x+a} dx = \int_{u}^{v} f(x) \Delta_{0,a} dx = \Delta_{0,a} \int_u^v f(x) dx $. Concludiamo che:
$ \displaystyle \frac{\Delta_{0,a}}{\Delta_{0,b}} = \frac{M_f[v,v+a] - M_f[u,u+a]}{M_f[v,v+b] - M_f[u,u+b]} $ (notiamo che u e v sono sempre qualsiasi). A questo punto è chiaro che se a,b sono piccoli, allora $ \displaystyle \frac{\Delta_{0,a}}{\Delta_{0,b}} $ tende a 1, visto che $ M_f[x,x+a] $ ad esempio tende semplicemente a f(x).

Per la convessità, una volta che si sa che è derivabile diventa ovvio notare che la derivata è crescente. Si può dimostrarlo anche direttamente, perchè con dei passaggi come quelli di prima si arriva a:
$ \displaystyle \Delta_{0,a} = \frac{M_f(u,u+a)}{ \int_{-\infty}^u f(x) dx} $. Essendo f crescente, anche $ M_f(u,u+a) $ cresce con a, quindi $ \Delta_{0,a} $ cresce con a, il che implica facilmente la convessità.

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