OliForum Matematico

Sia $ a $ un numero algebrico di ordine n e sia $ p(x) $ un polinomio a coefficienti razionali di grado $ n $ tale che $ p(a)=0 $.
Siano ora $ x_2, x_3, ... , x_n $ le altre radici di $ p(x) $: dimostrare che se $ q(x) $ è un qualsiasi polinomio a coefficienti razionali tale che $ q(a)=0 $ allora vale anche $ q(x_i)=0 $ per ogni $ i=2,3,...,n $

Non so quanto sia in realtà un fatto noto o meno, ma lo spunto che mi ha portato fino qui è stato puramente "olimpico" e dunque se qualcuno sapesse darmi una dimostrazione il più olimpica possibile sarebbe ottimo! Se no qualsiasi altra andrà bene lo stesso

Hmm... come definisci numero algebrico "di ordine n"? Perché se è quella che ho in mente io segue senza troppa difficoltà dalla definizione.

Premetto che non è molto tempo che mi muovo tra numeri algebrici e cose correlate, comunque io intendevo che $ a $ è uno zero di un polinomio a coefficienti razionali di grado $ n $ ma di nessun polinomio a coefficienti razionali di grado minore.

Comunque sì, il problema è semplice, ma l'enunciato è di per sé carino, dai! (e potenzialmente utile, si spera )
O era un modo elegante per dire che era meglio se lo postavo in algebra?

Giusto una precisazione: quello che hai chiamato "ordine" di un numero algebrico è universalmente noto come "grado".

uh, non sapevo, grazie mille della precisazione!

$ q(x) = A(x)p(x)+ B(x) $. , ovviamente e necessariamente in $ Q\left[ x \right] $.

Se $ B(x) $ non è zero, allora $ B(a)=0 $.
Ma :$ deg B(x) \leq n-1 $.
Contraddizione.

Non capisco..perché $ q(x)=A(x)p(x) + B(x) $? e perché il grado di $ B(x) $ è minore o uguale a $ n - 1 $?

Praticamente sto facendo la divisione euclidea di polinomi a coefficienti razionali.

B(x) è il resto della divisione, pertanto ha grado minore del dividendo.