Numeri algebrici

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Fabio91
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Numeri algebrici

Messaggio da Fabio91 » 14 gen 2010, 22:58

Sia $ a $ un numero algebrico di ordine n e sia $ p(x) $ un polinomio a coefficienti razionali di grado $ n $ tale che $ p(a)=0 $.
Siano ora $ x_2, x_3, ... , x_n $ le altre radici di $ p(x) $: dimostrare che se $ q(x) $ è un qualsiasi polinomio a coefficienti razionali tale che $ q(a)=0 $ allora vale anche $ q(x_i)=0 $ per ogni $ i=2,3,...,n $

Non so quanto sia in realtà un fatto noto o meno, ma lo spunto che mi ha portato fino qui è stato puramente "olimpico" e dunque se qualcuno sapesse darmi una dimostrazione il più olimpica possibile sarebbe ottimo! Se no qualsiasi altra andrà bene lo stesso :D
Fabio91

fph
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Messaggio da fph » 14 gen 2010, 23:40

Hmm... come definisci numero algebrico "di ordine n"? Perché se è quella che ho in mente io segue senza troppa difficoltà dalla definizione.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

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Fabio91
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Messaggio da Fabio91 » 15 gen 2010, 15:05

Premetto che non è molto tempo che mi muovo tra numeri algebrici e cose correlate, comunque io intendevo che $ a $ è uno zero di un polinomio a coefficienti razionali di grado $ n $ ma di nessun polinomio a coefficienti razionali di grado minore.

Comunque sì, il problema è semplice, ma l'enunciato è di per sé carino, dai! (e potenzialmente utile, si spera :D )
O era un modo elegante per dire che era meglio se lo postavo in algebra? :lol:
Fabio91

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FrancescoVeneziano
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Messaggio da FrancescoVeneziano » 15 gen 2010, 15:11

Giusto una precisazione: quello che hai chiamato "ordine" di un numero algebrico è universalmente noto come "grado".
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

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Fabio91
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Messaggio da Fabio91 » 15 gen 2010, 15:32

uh, non sapevo, grazie mille della precisazione! :D
Fabio91

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ghilu
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Messaggio da ghilu » 15 gen 2010, 16:58

$ q(x) = A(x)p(x)+ B(x) $. , ovviamente e necessariamente in $ Q\left[ x \right] $.

Se $ B(x) $ non è zero, allora $ B(a)=0 $.
Ma :$ deg B(x) \leq n-1 $.
Contraddizione.
Non si smette mai di imparare.

giggiotb
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Messaggio da giggiotb » 29 gen 2010, 21:31

Non capisco..perché $ q(x)=A(x)p(x) + B(x) $? e perché il grado di $ B(x) $ è minore o uguale a $ n - 1 $?
Il triangolo [tex]ABC[/tex] SEMBRA isoscele [tex]\Longrightarrow[/tex] ...

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ghilu
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Messaggio da ghilu » 29 gen 2010, 22:08

Praticamente sto facendo la divisione euclidea di polinomi a coefficienti razionali.

B(x) è il resto della divisione, pertanto ha grado minore del dividendo.
Non si smette mai di imparare.

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