Soluzione mia e di ma_go (più mia che sua
)
$ A_k = \{ n t.c. x(n)=k \} $
$ B_k = \{ n \in A_k, 3|n \} $
$ C_k = A_k - B_k $
$ a_k = \sum _{ n \in A_k } \frac 1{n^3} $ e simili
Fatto ovvio è che il minimo numero in $ A_k $ è senz'altro $ 3^k $
Ovviamente la mia serie di potenze non è altro che $ \sum a_k z^k $.
Ora, abbastanza ovviamente $ B_{k+1} = 3A_k $, $ C_{k+1} = (3A_{k+1} +1) \cup (3A_{k+1} +2 ) $
Detto questo, ho che $ b_{k+1} = 1/27 *a_k $. Vorrei sapere ora quant'è $ c_{k+1} $. Per fare questo prendo $ 2/27a_{k+1} - c_{k+1} $ e ci lavoro un po' su:
$ \displaystyle \sum_{n \in A_{k+1} } \frac 2{(3n)^3} - \frac 1{(3n+1)^3} - \frac 1{(3n+2)^3} \leq $
$ \displaystyle \leq \sum_{n \in A_{k+1} } \frac 9{(3n)^4} \leq \frac 13 \sum_{n \geq 3^k} \frac 1{n^4} \leq \frac 13 \int_{3^k}^{+ \infty} \frac {dx}{x^4} = \frac 1{9 \cdot 27^k} $
Quindi ottengo $ 1/25 a_k \leq a_{k+1} \leq 1/25 a_k + 3/25 (1/27)^k $
Scrivendo $ a_k = (1/25)^k * d_k $ ottengo:
$ d_k \leq d_{k+1} \leq d_k + 3/25 (25/27)^{k+1} $
Da cui trovo che $ d_k $ è una successione crescente e limitata da una serie geometrica. quindi so che $ 0< C_1 \leq 25^ka_k \leq C_2 $
Da questi ragionamenti ho che il raggio di convergenza è 25 e inoltre per $ z=\pm 25 $ non c'è convergenza.
