Raggio di convergenza di una power serie

[jordan]

Per ogni intero positivo n sia x(n) il numero di 0 nella rappresentazione in base 3 di n. Calcolare il raggio di convergenza di $ \displaystyle f(z):=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{x(n)}}{n^3} $.

[ma_go]

mi sono permesso di fare una mini-modifica al sorgente TeX, spero che tu non te la prenda troppo

poi, tanto per continuare a fare i pedanti, si dice "series" anche al singolare..

infine, venendo al problema, oggi mi ero quasi convinto che la risposta fosse 3, ma devo ripensarci (soprattutto devo "riscrivere" mentalmente la parte di euristica che "mi" aveva portato a congetturare la risposta).
e poi lascerei volentieri il problema a qualcuno di meno attempato di me.

[Simo_the_wolf]

Uhm... è tra 9 e 27!

[Simo_the_wolf]

Soluzione mia e di ma_go (più mia che sua )

$ A_k = \{ n t.c. x(n)=k \} $
$ B_k = \{ n \in A_k, 3|n \} $
$ C_k = A_k - B_k $
$ a_k = \sum _{ n \in A_k } \frac 1{n^3} $ e simili

Fatto ovvio è che il minimo numero in $ A_k $ è senz'altro $ 3^k $
Ovviamente la mia serie di potenze non è altro che $ \sum a_k z^k $.

Ora, abbastanza ovviamente $ B_{k+1} = 3A_k $, $ C_{k+1} = (3A_{k+1} +1) \cup (3A_{k+1} +2 ) $

Detto questo, ho che $ b_{k+1} = 1/27 *a_k $. Vorrei sapere ora quant'è $ c_{k+1} $. Per fare questo prendo $ 2/27a_{k+1} - c_{k+1} $ e ci lavoro un po' su:

$ \displaystyle \sum_{n \in A_{k+1} } \frac 2{(3n)^3} - \frac 1{(3n+1)^3} - \frac 1{(3n+2)^3} \leq $
$ \displaystyle \leq \sum_{n \in A_{k+1} } \frac 9{(3n)^4} \leq \frac 13 \sum_{n \geq 3^k} \frac 1{n^4} \leq \frac 13 \int_{3^k}^{+ \infty} \frac {dx}{x^4} = \frac 1{9 \cdot 27^k} $

Quindi ottengo $ 1/25 a_k \leq a_{k+1} \leq 1/25 a_k + 3/25 (1/27)^k $

Scrivendo $ a_k = (1/25)^k * d_k $ ottengo:

$ d_k \leq d_{k+1} \leq d_k + 3/25 (25/27)^{k+1} $

Da cui trovo che $ d_k $ è una successione crescente e limitata da una serie geometrica. quindi so che $ 0< C_1 \leq 25^ka_k \leq C_2 $

Da questi ragionamenti ho che il raggio di convergenza è 25 e inoltre per $ z=\pm 25 $ non c'è convergenza.

[Tibor Gallai]

Quindi ottengo $ 1/25 a_k \leq a_{k+1} \leq 1/25 a_k + 3/25 (1/27)^k $

E' più tipo

$ $\frac{a_k}{25}-\frac{3}{25\cdot 27^k} \leq a_{k+1} \leq \frac{a_k}{25} $.

Comunque non cambia la sostanza.