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Complessità geometrica

Inviato: 04 gen 2010, 19:44
da rand
E' possibile costruire un triangolo che non può essere dissezionato in 3 regioni congruenti ?

ps: Non so se sia un problema noto o meno, ne quanto sia difficile la risposta perchè la ignoro io stesso. Avete qualche idea?

Inviato: 04 gen 2010, 22:10
da Gauss91
Con congruenti intendi che hanno uguale area o che siano proprio congruenti geometricamente? Nel primo caso la risposta è negativa (si fa sempre in modo anche banale).
Nel secondo caso invece proviamo a ragionare a ritroso: prendiamo 3 triangoli congruenti e affianchiamoli uno per volta, vediamo se riusciamo a costruire un triangolo. Affiachiamo prima due, possiamo ottenere
1. un quadrilatero convesso
2. un quadrilatero concavo
3. un triangolo
Il primo caso non porta a nessun triangolo: aggiungendo infatti l'altro triangolo (congruente a quelli di prima) si ottiene sempre un pentagono o al limite un altro quadrilatero.
Il secondo caso corrisponde ad un deltoide concavo, formato da due triangoli ottusangoli: esso porta a un triangolo se si riempie la "parte concava" con l'altro triangolo, che deve essere congruente agli altri due. Essendo quest'ultimo triangolo isoscele (perché il quadrilatero in esame è un deltoide), devono esserlo anche gli altri due, e tutti e tre con angoli ottusi di 120°: formano un TRIANGOLO EQUILATERO.
Il terzo caso può essere formato solo con due triangoli rettangoli (si dimostra banalmente con il teorema dell'angolo esterno), e affinché il terzo triangolo formi con quello costruito un triangolo, anche quello costruito deve essere rettangolo, quinidi i tre triangoli (congruenti fra loro) devono essere rettangoli isosceli, e si vede che non possono essere accostati in modo da formare un triangolo.
Insomma, solo il triangolo equilatero può essere scomposto in questo modo.

In generale, però (ad esempio) è SEMPRE possibile tassellare un triangolo qualsiasi in $ n^2 $, $ \forall n \in \mathbb{Z} $ triangoli congruenti fra loro.

Inviato: 05 gen 2010, 13:24
da rand
Ok ma questo esclude soltanto il caso in cui le regioni sono triangoli a loro volta. Cosa si può dire più in generale?