Aperti in R

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
Pigkappa
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Aperti in R

Messaggio da Pigkappa » 03 gen 2010, 00:25

Sia $ A \subseteq \mathbb R $ un insieme. Diciamo che $ A $ è aperto se, per ogni $ x \in A $, esiste un intervallo aperto centrato in $ \displaystyle x $ strettamente contenuto in $ A $.

Si dimostri che, se $ A \subseteq \mathbb R $ è aperto, allora è unione numerabile di intervalli aperti.




[è facile, non serve sapere praticamente niente di particolare. L'ho messo in MNE perchè di solito nelle olimpiadi non si parla di aperti e chiusi...]

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Fedecart
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Messaggio da Fedecart » 03 gen 2010, 11:06

L'ho appena fatto in analisi... non posto in modo da farlo risolvere a qualcun'altro!

Tibor Gallai
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Re: Aperti in R

Messaggio da Tibor Gallai » 03 gen 2010, 11:16

Pigkappa ha scritto:L'ho messo in MNE perchè di solito nelle olimpiadi non si parla di aperti e chiusi...
Volendo agli stage si parla anche di aperti e chiusi (penso che quando si insegnino i moltiplicatori di Lagrange, si introduca almeno anche il concetto di chiuso), ma sicuramente non si parla di numerabilità.
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

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Nonno Bassotto
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Messaggio da Nonno Bassotto » 03 gen 2010, 15:10

Davvero? Quando io ho fatto le olimpiadi sapevamo cosa volesse dire numerabile, ma di certo non abbiamo mai visto i moltiplicatori di Lagrange!
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julio14
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Messaggio da julio14 » 03 gen 2010, 17:25

Visto che credo che molti abbiano già visto quello di Pig, rilancio:
Sia $ $A $ un insieme aperto e limitato di $ $\mathbb{R} $ e sia $ $\mathcal{F}_A $ la famiglia di insiemi aperti
$ $\mathcal{F}_A=\{\lambda A+x|\lambda\in\mathbb{Q^+}, x\in\mathbb{Q}\} $.
Si dimostri che ogni insieme aperto di $ $\mathbb{R} $ è unione numerabile di elementi di $ $\mathcal{F}_A $.
"L'unica soluzione è (0;0;0)" "E chi te lo dice?" "Nessuno, ma chi se ne fotte"
[quote="Tibor Gallai"]Alla fine, anche le donne sono macchine di Turing, solo un po' meno deterministiche di noi.[/quote]
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Messaggio da Pigkappa » 03 gen 2010, 17:38

L'idea era quella di dare un esercizio interessante e medio/facile su queste cose in pasto agli olimpionici, non a chi studia già queste cose. Prima di aprire un dibattito sulla didattica della topologia e delle cardinalità nelle Olimpiadi, oppure di rilanciare con esercizi del corso interno in SNS, vediamo se qualcuno fa il problema iniziale...

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julio14
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Messaggio da julio14 » 03 gen 2010, 18:06

Ok ok... non volevo impedire a nessuno di fare l'esercizio. È vero, viene dal corso interno, ma al pari del tuo non è difficilissimo e non richiede nessuna conoscenza specifica, se non l'esercizio stesso che hai postato, per questo mi pareva un rilancio naturale anche per gli olimpionici, oltre che una generalizzazione carina di quello che per gli universitari credo sia un fatto noto.
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Messaggio da Tibor Gallai » 04 gen 2010, 11:14

Nonno Bassotto ha scritto:Davvero? Quando io ho fatto le olimpiadi sapevamo cosa volesse dire numerabile, ma di certo non abbiamo mai visto i moltiplicatori di Lagrange!
Sì ma tu sei un nonno... :wink:
Intendevo dire che non mi viene in mente un problema o tecnica olimpica o \cosa\ insegnata agli stage in cui sia necessario distinguere tra infinito numerabile e più che numerabile.
Poi sarei felice di sbagliarmi! :o
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Re: Aperti in R

Messaggio da fph » 04 gen 2010, 18:31

Tibor Gallai ha scritto:Volendo agli stage si parla anche di aperti e chiusi (penso che quando si insegnino i moltiplicatori di Lagrange, si introduca almeno anche il concetto di chiuso), ma sicuramente non si parla di numerabilità.
A Pisa c'è qualcuno che mi prende ancora in giro per una vecchia lezione "advanced" in cui avevo provato a spiegare i moltiplicatori di Lagrange e definito un chiuso come "una cosa che contiene il suo bordo" o "una cosa che è definita solo con dei $ \ \leq $" + diversi esempi. :D
A mia difesa posso solo dire che il "caveat" era quello che c'è nelle dispense di Kedlaya: "le lezioni di analisi alle Olimpiadi devono essere un po' come le lezioni di educazione sessuale alle scuole medie: non devono servire per incoraggiarvi a usare il calcolo, ma per assicurarci che, se proprio dovete farlo, almeno non facciate errori troppo stupidi".
--federico
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Davide90
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Messaggio da Davide90 » 20 feb 2010, 16:09

Fedecart ha scritto:L'ho appena fatto in analisi... non posto in modo da farlo risolvere a qualcun'altro!
In realtà con Corrado abbiamo solo detto che l'unione infinita di chiusi può essere un aperto, ma non abbiamo accennato a questioni su numerabili/non numerabili...
Come si dovrebbe risolvere il quesito? Ho provato a pensarci un attimo ma non mi è venuto in mente, magari ci tornerò a pensare. :roll:
"[L'universo] è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche; [...] senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto." Galileo Galilei, Il saggiatore, 1623
[tex] e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin \theta[/tex]

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Messaggio da Tibor Gallai » 20 feb 2010, 16:30

Hint: considera un sottoinsieme denso di R numerabile...
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Davide90
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Messaggio da Davide90 » 21 feb 2010, 13:31

Ok, forse ho capito.
Consideriamo l'insieme $ D=\mathbb{Q}\cap A $: poichè A è un insieme aperto, $ \forall x \in D \ \exists B_{x}(\varepsilon) \subset A $, dove con $ B_{x}(\varepsilon) $ denotiamo la palla aperta centrata in $ x $ di raggio $ \varepsilon $.
Ora la tesi è equivalente a $ A= \bigcup_{x\in D} B_{x}(\varepsilon) $ (infatti D è sottinsieme di un insieme numerabile, dunque è numerabile).
Supponiamo per assurdo che esista un $ \xi \in A | \ \nexists x \in D | \ \xi \in B_{x}(\varepsilon) $. Allora, poichè A è aperto, esiste un intorno $ [ \xi-\delta, \xi + \delta ] $ privo di numeri razionali, il che è assurdo per l'archimedeità di $ \mathbb{R} $.
"[L'universo] è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche; [...] senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto." Galileo Galilei, Il saggiatore, 1623
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Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 21 feb 2010, 17:58

Davide90 ha scritto:Allora
Questo è falso. Può essere che ad averti confuso sia il fatto che quegli $ $\varepsilon $ dipendono da $ $x $. Quindi ti conviene chiamarli $ $\varepsilon_x $.
Dunque, trova un controesempio che fa saltare la tua dimostrazione, e correggila. L'impostazione è giusta...
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Sergiorgio
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Re: Aperti in R

Messaggio da Sergiorgio » 28 mar 2010, 23:14

è unione di intervalli aperti con estremi razionali contenuti in A

rargh
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Messaggio da rargh » 12 apr 2010, 22:20

Invece l'intersezione numerabile di aperti può dare un chiuso, giusto?

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