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Dimostrare che se $ \displaystyle ({a_n}, {b_n}) \thicksim ({c_n}, {d_n}) $ allora $ \displaystyle \langle {a_n}, {b_n} \rangle = \langle {c_n}, {d_n} \rangle $.
$ \displaystyle {a_n} $, $ \displaystyle {b_n} $, $ \displaystyle {c_n} $ e $ \displaystyle {d_n} $ sono successioni razionali e in particolare le coppie $ \displaystyle ({a_n}, {b_n}) $ e $ \displaystyle ({c_n}, {d_n}) $ sono intrappolanti.
Col simbolo $ \displaystyle \thicksim $ intendo "essere in relazione", cioè tali che la differenza tra due successioni una di una coppia ed una dell'altra è infinitesima.
Col simbolo $ \displaystyle \langle {a_n}, {b_n} \rangle $ indico la classe di equivalenza della coppia, cioè l'insieme delle coppie intrappolanti in relazione con la coppia stessa.

P.S.: Perdonatemi se non ho trovato i giusti simboli, e soprattutto se ho ancora sbagliato sezione per il post.

Uhm, ci definisci "intrappolanti"?

Si, scusatemi. Il testo definisce una coppia di successioni razionali $ \displaystyle ({a_n}, {b_n}) $ intrappolante se:
(i) $ \displaystyle \forall n $ appartenente ad $ \displaystyle \mathbb{N} $ si ha che $ \displaystyle a_n \leq b_n $;
(ii) $ \displaystyle {a_n} $ è crescente e $ \displaystyle {b_n} $ è decrescente;
(iii) $ \displaystyle {b_n - a_n} $ è infinitesima.

al di là di cosa vuol dire intrappolanti, mi sembra che sia una definizione...
cioè, ci stai chiedendo di dimostrare che due cose stanno in relazione se e solo se stanno nella stessa classe di equivalenza: questa è la definizione di classe di equivalenza...

forse ho capito male io?

comunque, invece di <,>, usa \langle e \rangle, l'effetto è più carino
e, in generale, comunque non li userei per classi di equivalenza, piuttosto userei le quadre.. questione di gusti, però.

In effetti...
vediamo un po'.
$ \langle a_n,b_n\rangle=\{(x_n,y_n)\ \vert\ (x_n,y_n)\sim(a_n,b_n),\ (x_n,y_n)\textrm{ è intrappolante}\} $
beh, visto che $ \sim $ è una relazione di equivalenza, ovviamente se $ (x_n,y_n) $ è intrappolante e $ (x_n,y_n)\sim(a_n,b_n) $ e se $ (a_n,b_n)\sim(c_n,d_n) $ allora per transitività $ (x_n,y_n)\sim (c_n,d_n) $. Allo stesso modo si prova che un'intrappolante in relazione con $ (c_n,d_n) $ è anche in relazione con $ (a_n, b_n) $ e dunque i due insiemi $ \langle a_n,b_n\rangle $ e $ \langle c_n, d_n\rangle $ coincidono.

Ah, per curiosità,
$ (a_n, b_n)\sim(c_n,d_n) $ 
vuol dire che $ |a_n-c_n|\to_{n\to\infty}0 $ e $ |b_n-d_n|\to_{n\to\infty}0 $
oppure che $ |a_n-c_n|\to_{n\to\infty}0 $ e $ |b_n-d_n|\to_{n\to\infty}0 $ e $ |a_n-d_n|\to_{n\to\infty}0 $ e $ |b_n-c_n|\to_{n\to\infty}0 $ ?

Comunque buffo modo per fare le sezioni di Dedekind...

EvaristeG ha scritto:$ (a_n, b_n)\sim(c_n,d_n) $
vuol dire che $ |a_n-c_n|\to_{n\to\infty}0 $ e $ |b_n-d_n|\to_{n\to\infty}0 $
oppure che $ |a_n-c_n|\to_{n\to\infty}0 $ e $ |b_n-d_n|\to_{n\to\infty}0 $ e $ |a_n-d_n|\to_{n\to\infty}0 $ e $ |b_n-c_n|\to_{n\to\infty}0 $ ?

La prima, ma se vuoi esserne sicuro chiedi in Glossario.

Probabilmente è il post più geniale che abbia mai letto su questo forum. Anche se sei un troll, hai tutto il mio rispetto.

Tibor Gallai ha scritto:Probabilmente è il post più geniale che abbia mai letto su questo forum. Anche se sei un troll, hai tutto il mio rispetto.

non posso che essere d'accordo... SARLANGA, se eri serio nel tuo ultimo post, sei un idiota.

SARLANGA ha scritto:

EvaristeG ha scritto:$ (a_n, b_n)\sim(c_n,d_n) $
vuol dire che $ |a_n-c_n|\to_{n\to\infty}0 $ e $ |b_n-d_n|\to_{n\to\infty}0 $
oppure che $ |a_n-c_n|\to_{n\to\infty}0 $ e $ |b_n-d_n|\to_{n\to\infty}0 $ e $ |a_n-d_n|\to_{n\to\infty}0 $ e $ |b_n-c_n|\to_{n\to\infty}0 $ ?

La prima, ma se vuoi esserne sicuro chiedi in Glossario.

EvaristeG ha scritto:

Tibor Gallai ha scritto:Probabilmente è il post più geniale che abbia mai letto su questo forum. Anche se sei un troll, hai tutto il mio rispetto.

non posso che essere d'accordo... SARLANGA, se eri serio nel tuo ultimo post, sei un idiota.

Mi aggrego a TG dato che sei riuscito a far arrabbiare Evaristeg (se riesci anche con fph sei imbattibile).

sarlanga, ma ti rendi conto che se Evaristeg e' admin vuol dire che e' una persona che si occupa di Matematica quotidianamente perche' ci lavora con essa?

Ok, è da figure di ***** come queste che si impara tantissimo, oppure, come certamente crederete voi, si capisce di cambiar mestiere. Una volta per tutte, come devo interpretare la domanda di Evaristeg (a cui porgo le mie scuse)?

EvaristeG ha scritto:Ah, per curiosità,
$ (a_n, b_n)\sim(c_n,d_n) $
vuol dire che $ |a_n-c_n|\to_{n\to\infty}0 $ e $ |b_n-d_n|\to_{n\to\infty}0 $
oppure che $ |a_n-c_n|\to_{n\to\infty}0 $ e $ |b_n-d_n|\to_{n\to\infty}0 $ e $ |a_n-d_n|\to_{n\to\infty}0 $ e $ |b_n-c_n|\to_{n\to\infty}0 $ ?

Lo so, non ci sono scusanti, ma ho capito il valore di quell'"oppure" subito dopo aver scritto quel post, che in quanto folle e sconsiderato, farà storia.

interpreto: voleva semplicemente sapere cosa intendevi dire con

SARLANGA ha scritto:Col simbolo $ \displaystyle \thicksim $ intendo "essere in relazione", cioè tali che la differenza tra due successioni una di una coppia ed una dell'altra è infinitesima.

la definizione e' oggettivamente un pochino fumosa.. probabilmente non volevi dire nessuna delle due che lui ha elencato, ma qualcosa tipo "sia $ |a_n-c_n| $ sia $ |b_n-c_n| $ sono infinitesime": a me sembrano tutte e tre (abbastanza chiaramente) equivalenti, comunque..

[off topic] comunque le figure di merda capitano a tutti: ricordo di qualcuno che ha insultato/dato dell'incapace a gobbino (!!!) qui sul forum..
certo che potevi essere un pochino piu' gentile [/off topic]

Un piccolo chiarimento per SARLANGA. Il problema è che la definizione "ufficiale" di successione intrappolante non esiste. Probabilmente hai visto la costruzione da qualche professore o in qualche libro, che ha usato questa definizione temporaneamente, in mancanza di un nome migliore. Quindi al momento l'unico che sa le definizioni rilevanti su questo forum sei tu.

(Certo che anche Evaristeg poteva essere un pochino più gentile )

ma_go ha scritto:ricordo di qualcuno che ha insultato/dato dell'incapace a gobbino (!!!) qui sul forum..

Si tratta di jordan, il quale sosteneva che Gobbino è un pupo.
(quantunque anche il resto delle cose che proferiva in quel frangente fosse parimenti fallimentare)
viewtopic.php?t=9910

ovvero sarlanga, non sperare nel diritto all'oblio

A proposito di quel post: non mi pare sia stato finito. In caso me lo leggo.