Una parabola riflette sul fuoco i raggi provenienti dall'infinito e parallelli al suo asse.
Un iperbole riflette i raggi provenienti dall'infinito e diretti verso il fuoco più lontano sul fuoco più vicino.
Esistono delle dimostrazioni elementari, per via sintetica, di queste proprietà? (Dando per nota la legge di riflessione dei raggi di luce)
riflessioni coniche
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Giuseppe M.
- Messaggi: 17
- Iscritto il: 19 ott 2009, 17:46
Ho pensato ad una soluzione per la parabola, chiedo se è corretta o se non è sufficientemente precisa.
Considero una parabola con fuoco $ F $ e direttrice $ d $. Prendo un punto $ B $ sulla parabola, indico con $ Q $ la sua proiezione su $ d $.
Il triangolo $ BQF $ è isoscele, per le proprietà della parabola come luogo geometrico. Traccio la mediana da $ B $ al lato $ FQ $, indico con $ M $ il punto medio di $ FQ $.
Suppongo che la retta $ BM $ sechi la parabola, in un altro punto $ A $. Indico con $ P $ la proiezione di $ A $ su $ d $.
La mediana di un triangolo isoscele è anche altezza, per cui $ BA $ è perpendicolare a $ FQ $. I triangoli $ AMQ $ e $ AMF $ risultano uguali per il primo criterio ($ QM=MF, AM $ in comune, glia angoli compresi retti). Dunque $ AF=AQ $. Ma $ AQ $ è ipotenusa del triangolo rettangolo $ APQ $, per cui $ AQ>AP $. Segue che $ AQ>AF $, assurdo, perchè in contrasto con la definizione di parabola come luogo geometrico.
L'assurdo viene dall'avere supposto che $ BM $ intersechi la parabola in un altro punto $ A $. (Si può fare la costruzione con $ A $ "più alto" o "più basso" di $ B $) Allora $ BM $ è tangente alla parabola.
A questo punto resta da tracciare una retta $ r $ parallela all'asse della parabola, passante per $ B $. L'angolo d'incidenza è opposto al vertice di $ Q\hat{B}M $, ed è pertanto uguale a questo. Inoltre $ Q\hat{B}M = M\hat{B}F $, poichè la mediana di un triangolo isoscele è anche bisettrice. Allora $ BF $ è il raggio riflesso.
Considero una parabola con fuoco $ F $ e direttrice $ d $. Prendo un punto $ B $ sulla parabola, indico con $ Q $ la sua proiezione su $ d $.
Il triangolo $ BQF $ è isoscele, per le proprietà della parabola come luogo geometrico. Traccio la mediana da $ B $ al lato $ FQ $, indico con $ M $ il punto medio di $ FQ $.
Suppongo che la retta $ BM $ sechi la parabola, in un altro punto $ A $. Indico con $ P $ la proiezione di $ A $ su $ d $.
La mediana di un triangolo isoscele è anche altezza, per cui $ BA $ è perpendicolare a $ FQ $. I triangoli $ AMQ $ e $ AMF $ risultano uguali per il primo criterio ($ QM=MF, AM $ in comune, glia angoli compresi retti). Dunque $ AF=AQ $. Ma $ AQ $ è ipotenusa del triangolo rettangolo $ APQ $, per cui $ AQ>AP $. Segue che $ AQ>AF $, assurdo, perchè in contrasto con la definizione di parabola come luogo geometrico.
L'assurdo viene dall'avere supposto che $ BM $ intersechi la parabola in un altro punto $ A $. (Si può fare la costruzione con $ A $ "più alto" o "più basso" di $ B $) Allora $ BM $ è tangente alla parabola.
A questo punto resta da tracciare una retta $ r $ parallela all'asse della parabola, passante per $ B $. L'angolo d'incidenza è opposto al vertice di $ Q\hat{B}M $, ed è pertanto uguale a questo. Inoltre $ Q\hat{B}M = M\hat{B}F $, poichè la mediana di un triangolo isoscele è anche bisettrice. Allora $ BF $ è il raggio riflesso.